desigualdades

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CAPÍTULO 1 Fundamentos

1.7

En el álgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones.
Una desigualdad es similar a una ecuación, sólo que en lugar de tener un signo de
igual hay uno de los símbolos Ͻ, Ͼ, Յ o Ն. Aquí está un ejemplo de una desigualdad:
4x ϩ 7 Յ 19

4x ϩ 7 Յ 19

x

La tabla que aparece al margen muestra que algunos números satisfacen ladesigualdad y algunos números no.
Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones,
las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números
reales. La ilustración que siguemuestra cómo una desigualdad difiere de su ecuación correspondiente:

11 Յ 19
15 Յ 19
19 Յ 19
23 Յ 19
27 Յ 19

1
2
3
4
5

Desigualdades

Solución

Gráfica

4x ϩ 7 ϭ 19

xϭ3

0

3

Desigualdad: 4 x ϩ 7 Յ 19

xՅ3

0

3

Ecuación:

Para resolver desigualdades, aplicamos las reglas siguientes para aislar la variable
a un lado del signo de la desigualdad. Estas reglasindican cuándo dos desigualdades
son equivalentes (el símbolo 3 significa “equivale a”). En estas reglas, los símbolos A, B y C son números reales o expresiones algebraicas. Aquí establecemos las reglas para desigualdades que contienen el símbolo Յ, pero se aplican a los cuatro
símbolos de desigualdad.

Reglas de las desigualdades
Regla

Descripción

1. A Յ B

3

AϩCՅBϩC

2. A Յ B

3AϪCՅBϪC

3. Si C Ͼ 0, entonces

AՅB

3

CA Յ CB

4. Si C Ͻ 0, entonces

AՅB

3

CA Ն CB

5. Si A Ͼ 0
entonces

y

B Ͼ 0,
AՅB

3

1
1
Ն
A
B

6. Si A Յ B y C Յ D,
entonces A ϩ C Յ B ϩ D

Sumar la misma cantidad a cada miembro de una desigualdad da una desigualdad equivalente.
Restar la misma cantidad de ambos miembros de una desigualdad da una desigualdadequivalente.
Multiplicar cada miembro de una desigualdad por la
misma cantidad positiva da una desigualdad equivalente.
Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por la
misma cantidad negativa invierte la dirección de la
desigualdad.
Obtener los recíprocos de ambos miembros de una
desigualdad que contiene cantidades positivas invierte
la dirección de la desigualdad.
Las desigualdades sepueden sumar.

SECCIÓN 1.7 Desigualdades

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Ponga atención especial a las reglas 3 y 4. La regla 3 establece que podemos
multiplicar (o dividir) cada miembro de una desigualdad por un número positivo,
pero la regla 4 señala que si multiplicamos cada miembro de una desigualdad por un
número negativo, entonces invertimos la dirección de la desigualdad. Por ejemplo, si
empezamos con ladesigualdad
3Ͻ5
y multiplicamos por 2, obtenemos
6 Ͻ 10
pero si multiplicamos por Ϫ2, tenemos
Ϫ6 Ͼ Ϫ10

Desigualdades lineales
Una desigualdad es lineal si cada término es constante o es un múltiplo de la variable.

Ejemplo 1

Resolución de una desigualdad lineal

Resuelva la desigualdad 3x Ͻ 9x ϩ 4 y grafique el conjunto solución.
Solución
3x Ͻ 9x ϩ 4
3x Ϫ 9x Ͻ 9x ϩ 4 Ϫ 9x
Ϫ6x Ͻ4

Ϫ1
6

La multiplicación por el número
invierte la dirección de la desigualdad.
_2
3

AϪ 1 B1Ϫ6x2
6

Ͼ

AϪ1 B142
6

x Ͼ Ϫ2
3

Sustracción de 9x
Simplificación
1
Multiplicación por Ϫ 6 (o división entre Ϫ6)

Simplificación

El conjunto solución consta de todos los números mayores que Ϫ 2. En otras pala3
bras, la solución de la desigualdad es el intervalo AϪ 2, qB . Lagráfica se ilustra en
3
la figura 1.
■

0

Figura 1

Ejemplo 2

Resolución de un par de desigualdades simultáneas

Resuelva las desigualdades 4 Յ 3x Ϫ 2 Ͻ 13.
Solución El conjunto solución consiste en todos los valores de x que cumplen
tanto la desigualdad 4 Յ 3x Ϫ 2 y 3x Ϫ 2 Ͻ 13. Aplicando las reglas 1 y 3, vemos
que las desigualdades siguientes son equivalentes:
4 Յ 3x Ϫ 2 Ͻ 13...