Desigualdades

DESIGUALDADES 5.1.Desigualdad de las medias Si 0 < a ≤ b, entonces √ 2ab a+b a2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ ≤ b, a+b 2 2 y los signos = son v´lidos si y s´lo si a = b. a o Generalizaci´n : Para todo conjunto (a1 , a2 , · · · , an ) de n´meros positivos o u se verifica a≤
n
n

min(a1 , · · · , an ) ≤

n ≤ n i=1 (1/ai )

ai ≤
i=1

n i=1

ai

n

≤

n 2 i=1 (ai )

n

≤ max (a1 , · · · , an )y el signo = vale si y s´lo si todos los ai son iguales. o 5.2.Desigualdad de reordenaci´n y su dual o a) Un ejemplo para introducir el problema : Se tienen cuatro cajas; en una de ellas hay billetes de 10 $, en otra de 20$, en la tercera de 50 $ y en la cuarta de 100 $. Se pueden coger 3 billetes de una caja, 4 de otra, 5 de otra y 6 de otra. ¿C´mo podremos coger la m´xima (m´ o a inima)cantidad de dinero ? La respuesta se deja, obviamente, al lector. b) Si nos dan dos conjuntos ordenados finitos de n´meros reales a1 ≤ a2 ≤ u · · · ≤ an y b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn , y si (c1 , c2 , · · · , cn ) es una permutaci´n de o (b1 , b2 , · · · , bn ) , entonces se verifica
n n n

a1 bn + · · · + an b1 =
i=1

ai bn+1−i ≤
i=1

ai ci ≤
i=1

ai bi = a1 b1 + · · · + an bn

Demostraci´n oSupongamos ar > as . Consideremos las sumas S S Entonces S − S = ar cs + as cr − ar cr − as cs = (ar − as ) (cs − cr ) en consecuencia, cr cr < > cs =⇒ S > S cs =⇒ S < S. 1 = a1 c1 + · · · + ar cr + · · · + as cs + · · · + an cn = a1 c1 + · · · + ar cs + · · · + as cr + · · · + an cn

El resultado ”dual” de ´ste, invirtiendo los signos de desigualdad y permue tando sumas y productos, es v´lidopara n´meros reales positivos ai , bi : a u
n n n

(ai + bn+1−i ) ≥
i=1 i=1

(ai + ci ) ≥
i=1

(ai + bi )

c)Algunos ejemplos de aplicaci´n de esta desigualdad o Introduzcamos una nueva notaci´n para el producto escalar: o a b p q Entonces : a a2 b b2 c c2 a c2 b b2 c a2 c r = ap + bq + cr

a3 + b3 + c3 =

≥

= a2 b + b2 c + c2 a

c-ii) Sean ai > 0, i = 1, · · · , n y s = a1 + · ·· + an . Probar que an n a1 + ··· + ≥ . s − a1 s − an n−1 Es evidente que las sucesiones a1 , · · · , an y 1 1 ,··· , s − a1 s − an

est´n ordenadas en el mismo sentido. Por lo tanto a a1
1 s−a1

··· ···

an
1 s−an

≥

a1
1 s−ak

a2
1 s−ak+1

··· ···

an
1 s−ak−1

(k = 2, 3, · · · n)

Sumando estas n-1 desigualdades se obtiene el resultado. c-iii) Probar la desigualdad a4 +b4 + c4 ≥ a2 bc + b2 ca + c2 ab. Aqu´ extendemos el ”producto escalar” i  2 2 2   a b c  a b c ≥ a b c a tres sucesiones:  a2 b2 c2 b c a  c a b

aqu´ en la primera matriz, las tres sucesiones est´n ordenadas en el mismo i, a sentido, pero en la segunda no. 5.3.Desigualdad de Bernouilli n Si h > −1 y n ∈ N , entonces (1 + h) ≥ 1 + nh 2

5.4.Desigualdad de Chebyshev Si a1 ≤ a2 ≤ · · ·≤ an y b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn , entonces a1 + · · · + an n b1 + · · · + bn n ≤ a1 b1 + · · · + an bn n

Si las dos sucesiones est´n ordenadas inversamente, el signo de la desigualdad a se invierte. Se puede demostrar con la desigualdad de reordenaci´n. o 5.5.Desigualdad de Abel Si {a1 , · · · , an } y {b1 , · · · , bn } son dos conjuntos de n´meros reales, con u b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn , y seconsideran las sumas s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , · · · , sn = a1 + · · · + an , entonces llamando m = min(s1 , · · · , sn ), se verifica mb1 ≤ a1 b1 + · · · + an bn ≤ M b1 . 5.6. Desigualdad de Cauchy-Schwarz Para tres variables : partiendo de la identidad de Lagrange, a2 + b2 + c2 x2 + y 2 + z 2 = (ax + by + cz) +(ay − bx) +(bz − ay) +(cx − az)
2 2 2 2

M = max (s1 , · · · , sn )

es evidente que a2 +b2 + c2 x2 + y 2 + z 2 ≥ (ax + by + cz) ,
2

y el signo igual vale si y s´lo si a/x = b/y = c/z. o En general: dados los conjuntos de n´meros reales {a1 , · · · , an } y {b1 , · · · , bn } , u entonces
n 2 n 2 n 2

ai bi
i=1

≤
i=1

ai
i=1

bi

,

y el signo igual vale si y s´lo si ai /bi = r para todo i. o 5.7.Desigualdad de Jensen Una funci´n definida en el intervalo [α, β]...