Determinación Del Numero Pi

LABORATORIO 1: DETERMINACIÓN DEL NÚMERO π.


Facultad de salud, Universidad del Valle, Cali (Colombia) 2011

RESUMEN

Se halló experimentalmente el valor del número π midiendo los diámetros y los perímetros de 5 círculos diferentes. Aplicando el método de los mínimos cuadrados se encontró que la ecuación que relaciona el perímetro y el diámetro viene dada por Y= 3,15 * X + 1,06 donde lapendiente, 3,15, corresponde al valor de π. El porcentaje de error fue de 0,32%. Las fuentes de error provinieron de la alta incertidumbre asociada a uno de los instrumentos de medición.

INTRODUCCIÓN

La letra griega π es usada en matemáticas para expresar del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes fue el primero que lo calculó poraproximaciones sucesivas estableciendo su valor entre 3,140845 y 3,142857. El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.
π es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, y se puede calcular con laexactitud deseada utilizando series. Hasta el momento ha sido calculado con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad.

METODOLOGÍA

A 5 círculos de diferente tamaño se le midieron el diámetro y el perímetro empleando un pie de rey y una cinta métrica respectivamente. A cada variable se le especificó el error asociado; en el caso de larelación perímetro/diámetro en que están involucradas 2 incertidumbres diferentes, se aplicó la ecuación I:
ΔY= D * (precisión de la cinta métrica) + (P/D ) * (precisión del pie de rey)
(D) 2
Donde D es diámetro, P perímetro y ΔY el error asociado a la relación P/D.
Los datos se consignaron en tablas y se aplicó el método de los mínimos cuadrados para hallar la recta que mejor los representa, paraello se aplicaron las siguientes ecuaciones:

Éstos valores se reemplazaron en la ecuación general de una recta:

Y = mX + b (IV)
El coeficiente de regresión lineal se halló con la siguiente fórmula:

Para determinar el porcentaje de error del número π se empleó:

%error = [ | Valorteórico – Valorexperimental | / Valorteórico ] * 100 (VI)

CÁLCULOS Y RESULTADOS

Lasmediciones de los diámetros, las circunferencias y sus errores asociados se muestran en la tabla 1. El error asociado a la relación perímetro/diámetro se calculó con la ecuación I.

Tabla 1. Resultados de las mediciones de los diferentes círculos y sus errores asociados.
Diámetro (mm) | Error asociado (mm) | Perímetro (mm) | Error asociado (mm) | Perímetro/diámetro | Error asociado (mm) |39,80 | +/-0,05 | 127 | +/-1 | 3,19 | 0,03 |
59,40 | +/-0,05 | 188 | +/-1 | 3,16 | 0,02 |
79,90 | +/-0,05 | 253 | +/-1 | 3,17 | 0,01 |
99,80 | +/-0,05 | 315 | +/-1 | 3,16 | 0,01 |
120,30 | +/-0,05 | 381 | +/-1 | 3,17 | 0,01 |

Para la aplicación del método de los mínimos cuadrados se elaboró la tabla 2:

Tabla 2. Datos para la aplicación de los mínimos cuadrados.Aplicando las ecuaciones II, III y V se calculó:

m = 3,15
b= 1,06
r = 0,99
Por tanto, la recta (ecuación IV) que mejor describe los resultados está dada por:

Y= 3,15 * X + 1,06

Ésta se muestra en la gráfica 1.

El porcentaje de error se calculó con la ecuación VI, donde el valor teórico es 3,141592 que se aproxima 3,14:
%error = [ | 3,14 – 3,15 | / 3,14 ] * 100 = 0,32%.DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Inicialmente, se debe revisar el asunto de las cifras significativas pues en esta práctica las mediciones se hicieron con dos instrumentos diferentes y con incertidumbres diferentes: el pie de rey (+/- 0,05 mm) y la cinta métrica (+/- 1 mm). La teoría explica (Chang, 2002 y Serway, 2007) que los valores resultantes de las operaciones matemáticas deben reportarse con las...