Determinacion de pi

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Determinación de π


Objetivos

1. Determinar el valor numérico de la constante matemática π por varios métodos
2. Determinar la incertidumbre y el Por ciento de Error en la determinación de π
3. Aprender a calcular la precisión de mediciones indirectas y en métodos gráficos
4. Familiarizarse con los conceptos de Por ciento de diferencia, Por ciento de discrepancia y Porciento de Error
5. Determinar las propiedades físicas con la cantidad correcta de cifras significativas
6. Realizar cómputos con la cantidad correctas de cifras significativas



Teoría y métodos

La razón de la circunferencia al diámetro de un círculo es un valor irracional infinito (3.1415926…) Para cualquier círculo de cualquier tamaño siempre obtendremos un valorligeramente mayor que 3. Este número se identifica con la letra π

[pic] (1)

En la ecuación (1) las variables C y D representan la magnitud de la circunferencia y el diámetro de un círculo. Para determinar el valor de π utilizaremos tres métodos: 1) el valor promedio para una serie de discos, 2) el valor promedio para un solo disco, y 3) el método gráfico.

El ValorPromedio para una serie de discos

Para seis discos de latón de diferentes diámetros se medirá la circunferencia (C) y el diámetro (D). Para cada disco se calcula la razón [pic] tomando en consideración las cifras significativas de las mediciones. El valor correcto de π se obtiene calculando el promedio para las 6 proporciones calculadas

[pic] (2)

Lacantidad de cifras significativas dependerá de la instrumentación utilizada para realizar las mediciones de diámetro y circunferencia. Tanto los valores πn como el valor πprom deben expresarse con la cantidad correcta de cifras significativas. La precisión de πprom se determina con la desviación promedio dprom .

[pic] (3)




De este modo podemos expresar el cómputo de π con suincertidumbre

[pic] (4)




El Valor Promedio para un disco

Si utilizamos un solo disco podemos repetir N veces las mediciones de diámetro y circunferencia de manera que la ecuación (2) produciría el valor correcto de π. La incertidumbre del promedio también se obtendría calculando la desviación promedio o la desviación estándar. En este método podemos calcular laincertidumbre del promedio considerando la precisión de los instrumentos utilizados. Aplicando la Teoría de Propagación de Errores podemos predecir el Error Relativo en la determinación de π por la siguiente expresión

[pic] (5)

Con la ecuación anterior se determina el Por ciento de Error en la determinación de π. También se evaluará la efectividad del método calculando elPor ciento de Discrepancia. Este se obtiene comparando el valor experimental con el valor aceptado.

[pic] (6)




El Método Gráfico

La ecuación (1) indica que π es una constante de proporcionalidad entre la circunferencia y el diámetro. Con las mediciones realizadas en los seis discos se dibujará una gráfica de Circunferencia vs. Diámetro. Los seispuntos deben ajustarse a una línea recta cuya pendiente sea igual al valor π. La incertidumbre en este caso puede estimarse con una rutina de cuadrados mínimos.




La densidad de los discos

El Método Gráfico también puede utilizarse para determinar la densidad del latón. La masa de cada disco es proporcional a su volumen,

[pic] (7)

Dicho de otramanera la masa de un disco es directamente proporcional al cuadrado de su diámetro. Los seis discos utilizados son de la misma sustancia (ρ) y aproximadamente del mismo grosor (h). En la ecuación (7) usaremos el grosor promedio hprom de los discos. La gráfica de masa en función del cuadrado del diámetro debe ajustarse a una línea recta cuya pendiente es proporcional a la densidad de los discos...
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