Determinacion De La Constante π

DETERMINACION DE LA CONSTANTE π
Resumen: En el laboratorio se midió el perímetro y el diámetro de 5 círculos de diferentes tamaños luego por medio del criterio de métodos de mínimos cuadrados se realizo la Linealización basados en la ecuación de la línea recta con el fin de determinar el valor de la pendiente y compararlo con el de π, para lo cual se realizaron los respectivos cálculos consus errores asociados.

INTRODUCCION
El número pi (π) es una constante matemática que ha sido de suma importancia a través del tiempo, Pi es la relación entre la longitud de una circunferencia (p) y su diámetro (d), en geometría euclidiana, por eso es la constante matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, la ingeniería entre otros, la aproximación estimada de este número hasido cambiada constantemente a través de la historia al ser un numero de infinitas cifras decimales para la actualidad tiene un valor estimado de 3.141592654…

En esta práctica se busco encontrar un valor de π que fuese lo más acertado posible, para ello se midió el diámetro y radio de 5 círculos con el fin de realizar cálculos que permitan establecer el valor de este número para cada circulo,para así poder compararlo con el valor aceptado de este.

Debido a que la relación entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro es casi lineal se uso el criterio de mínimos cuadrados para determinar el valor de la constante π por medio de la ecuación de la línea recta y determinado sus valores con sus respectivas incertidumbres; se aplicaron las siguientes formulas en el cálculo.Ecuación 1. Ecuación de la línea recta.
y = mx + b
Ecuación 2. Perímetro de una circunferencia en función del diámetro
p = πd +a
Ecuación 3. Determinación del intercepto a.
a = ∑ Xi 2 ∑ Yi -∑ Xi∑(XiYi) n∑ Xi 2 –(∑Xi)2
Ecuación 4. Determinación de la pendiente m.
m = n∑XiYi-∑Xi∑Yin∑Xi2-(∑Xi)2
Ecuación 4. Determinación de la pendiente m.
m = n∑XiYi-∑Xi∑Yin∑Xi2-(∑Xi)2
Ecuación 5. Determinacióndel coeficiente de relación lineal r
r =n∑XiYi-∑Xi∑Yin∑Xi2-∑Xi2(∑Yi2-∑Yi2)
Ecuación 6. Determinación del error asociado a y Sy.
Sy = ∑(Yi-a-bXi)2n-2
Ecuación 7. Determinación del sm
sm = Sy nn∑Xi2-(∑Xi)2
METODOLOGIA
Para determinar la constante Pi (π) por el método directo, se tomaron cinco círculos de diámetros diferentes a los cuales se les determino el perímetro y el diámetro, elperímetro se determinó con una cinta métrica con una precisión de ±0.05 cm, el diámetro se determinó con un píe de rey con una precisión de ±0.005 cm, con los datos obtenidos de las mediciones se hicieron los cálculos pertinentes para determinar el valor de la constante Pi (π).
ANALISIS DE RESULTADOS
En la práctica experimental se midió el perímetro (p) con una incertidumbre de (± 0.05) cm, de 5círculos de diferentes tamaños y el diámetro (d) con una incertidumbre de (± 0.005) cm, los datos obtenido se muestran en la tabla 1.
Tabla 1. Medidas de perímetro, diámetro y su razón.
P (± 0.05) cm | d(± 0.005) cm | p/d |
12.4 | 3.960 | 3.131 |
18.6 | 5.925 | 3.139 |
25.1 | 7.975 | 3.150 |
31.4 | 9.955 | 3.154 |
37.5 | 11.935 | 3.142 |
Luego se calculo la razón entre el perímetro y eldiámetro (p/d) como se mostro en la columna 3 de la tabla 1, los cuales se obtuvieron con el siguiente cálculo:
pd = 12.4 cm3.960 cm=3.131
La incertidumbre asociada a la razón entre el perímetro del círculo y su diámetro se calculo con la ecuación 0.
∆ dp = dp ∆pp+ ∆dd
Donde p es promedio de los perímetros medidos 25 cm y d es el promedio de los diámetros medidos igual a 7.95 cm.
∆ dp =7.9525 0.0525+ 0.0057.95 = 8.36x10-4
Para ilustrar el comportamiento de la razón entre el perímetro y el diámetro se construyo la grafica 1. Donde el diámetro es la variable independiente y el perímetro la variable dependiente
Grafica 1. Perímetro vs diámetro

DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Según la grafica 1 la relación entre el perímetro y el diámetro es casi una cantidad proporcional p∞d lo que...