determinacion de la ecuacion

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y SU GRÁFICA
Definición
La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que equidista de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se denomina foco y la recta fija directriz de una parábola.
Si designamos al foco y la directriz de una parábola por F y € respectivamente, la recta a que pasa por elfoco y es perpendicular a la directriz se denomina eje focal o eje de la parábola; sea A el punto-de intersección, del eje de la parábola y la directriz; el punto V es el punto medio del segmento AF y por definición está sobre la parábola, dicho punto se denomina vértice; sea BB’ el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola, y se denomina cuerda; particularmente siuna cuerda pasa por el foco, tal como CC”, se denomina cuerda focal; si la cuerda focal es perpendicular al eje de la parábola, tal como LL\ se denomina lado recto; sea P un punto cualquiera de la parábola y la recta FP que une al foco con dicho punto, se denomina radio focal de P o radio vector. (Figura 1).




Parábola de vértice en el origen y eje coordenado

Consideramos la parábolade vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x .
Como el foco está sobre el eje x, sus coordenadas son F (p, 0); la ecuación dela directriz ℓ es por definición de parábolas x = -p.
Si P (x, y) en un punto cualquiera de la parábola por el que se traza el segmento PA perpendicular a la directriz, con base en la definición de parábola, dicho punto debe satisfacer la condición geométricade:

| FP | = |PA |.

Al aplicar la ecuación de distancia entre dos puntos, obtenemos:








AI aplicar la ecuación se distancia de una recta a un punto, obtenemos:
/PA/ =/ x + p/


Analíticamente, la condición geométrica se representa por:
| FP | = |PA |.

= \x + p\


Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificamos:= (
(x - p)2 + y2 = x2 + 2px + p2

x2 - 2px + p2 + y2 - x2 + 2px + p2
y2 =x2 + 2px + p2 -x2 +2px-p2
:.y2=4px

Si extraemos raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación anterior, obtenemos:= ±

Para valores reales y diferentes de cero de la variable y, los valores de p y x deben ser del mismo signo

Si p < O, no deben tomarse en cuenta los valores positivos de x; por lo que, la parábola se abre a la izquierda del eje y y se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje x. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y2 = 4px; las coordenadas de sufoco son F (p, 0) y la ecuación de su directriz es x = -p













En la ecuación y2 = 4px, la parábola no presenta asíntotas verticales ni horizontales.
En la ecuación y = ± 2 px, se tienen dos puntos sobre la parábola cuya abscisa es p; uno de ellos tiene de ordenada 2p y el otro tiene la ordenada -2p, dado que la abscisa del foco es p, se establece que la longitud del ladorecto (L.R.) es igual al valor absoluto de la cantidad 4p, es decir: L.R. = |4p | .
Consideremos la parábola de vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje y. (figura 5).

























Como el foco está sobre el eje y, sus coordenadas son F (0, p); la ecuación de la directriz ℓ es por definición de parábola y = -p.
Si P (x, y) es un punto cualquierade la parábola por el que se traza el segmento PA perpendicular a la directriz; con base en la definición de parábola, dicho punto debe satisfacer la condición geométrica de:
|FP | = IPAI
Para valores reales y diferentes de cero de la variable x, los valores de p y y deben ser del mismo signo; por lo anterior se consideran dos casos.
3. Si p...