Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE EN CIRCUITOS ELECTRONICOS



Resumen: Fundamentalmente en este trabajo hablare sobre la transformada de Laplace que es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en problemas simples de álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Palabras Claves: Circuito eléctrico, Electrónica, Transformada de Laplace, Transformada inversa de Laplace.
Introducción: En la mayoría de las asignaturas correspondientes a la carrera de Ingeniería Electrónica se estudian circuitos eléctricos, en su mayoría formados por elementos comoresistencias, capacitores e inductancias, en el caso que las excitaciones no están restringidas a constantes, el modelo matemático constituido por ecuaciones integro diferénciales que describe a un circuito tiene un alto nivel de complejidad. Para encontrar las soluciones a estas ecuaciones a menudo se utiliza la Transformada de Laplace donde las ecuaciones diferenciales se transforman enecuaciones algebraicas lineales en el dominio complejo y nos permiten usar las herramientas del algebra lineal para hallar y analizar sus soluciones.
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace se define de la siguiente forma:
(1)
Si la integral existe, que es una función temporal se trasforma en que es una función de variable compleja S. En este informe no solo seintentara explicar la herramienta de la transformada para la resolución de las ecuaciones diferenciales,

sino también analizaremos los resultados y los expresaremos en el dominio tiempo nuevamente, para así poder apreciar las formas de onda de las distintas variables que se obtienen como respuesta.
Esto se logra a través de lo que llamamos Transformada Inversa de Laplace para la antitrasformación utilizaremos valores tabulados.
Circuitos eléctricos
Supongamos tener un circuito eléctrico tal como se muestra en la figura (1), compuesto por una fuente de tensión, una resistencia y una inductancia conectada en serie entre sí.
Si planteamos las ecuaciones del modelo matemático (siempre suponiendo que es un sistema lineal e invariante en el tiempo) de este circuito nos encontramos con lasiguiente ecuación diferencial

(2)

Teniendo en cuenta que, es una fuente que entrega al circuito un escalón de voltaje, es la corriente que circula por el circuito, R y C (consideremos que el capacitor se encuentra inicialmente descargado) son los correspondientes valores de las impedancias de la resistencia y el capacitor respectivamente.Figura 1. Circuito RC serie


A continuación aplicaremos la Transformada de Laplace, para transformar tanto derivadas como las
integrales de la función en una ecuación lineal:
(3)
Podemos observar que la complejidad de la resolución de la ecuación (2) muy elevada en comparación con la dificultad presentada por la ecuación (3).
Ahora podemosdespejar y encontrar el valor de la corriente que circula por los elementos en el plano transformado:
(4)
Analizando la expresión (4), nos damos cuenta que no nos brinda ninguna información útil con respecto al problema físico del circuito eléctrico, pero como se mencionó en la primera parte, existe lo que llamamos TransformadaInversa de Laplace, al anti transformar vamos a poder observar cómo evoluciona la corriente a medida que el tiempo avanza.
{I(S)}= (5)
En la figura (2) se puede ver cómo evoluciona la corriente del circuito, para la gráfica tomamos como valores arbitrarios R=10Ω y C=1F.
Teorema del valor final
Estos dos teoremas son aplicados...