Determinante De La Matriz De vanDermonDe

Determinante de Vandermonde
Objetivos. Definir la matriz de Vandermonde y demostrar la f´rmula para su determio
nante. Conocer su aplicaci´n a la interpolaci´n polinomial.
o
o
Requisitos.Determinante y sus propiedades, polinomios.
1. Definici´n (matriz de Vandermonde). Sean α1 , . . . , αn ∈ F. La matriz de Vandero
monde generada por los puntos α1 , . . . , αn se define mediante la siguientef´rmula:
o


n
2
1 α1 α1 . . . α1 −1


n
2
 1 α2 α2 . . . α2 −1 



n−1 
2
V (α1 , α2 , α3 , . . . , αn ) :=  1 α3 α3 . . . α3  .




..........


2
n−1
1αn αn . . . αn
En notaci´n breve:
o
j
V (α1 , α2 , α3 , . . . , αn ) := αi −1

n
.
i,j =1

Las entradas de cada rengl´n forman una progresi´n geom´trica.
o
o
e
2. Ejemplo (eldeterminante de Vandermonde para n = 1). En este caso la matriz
de Vandermonde es de tama˜o 1 × 1:
n
det V (α1 ) = 1 .
Su determinante es igual a 1 y no depende de α1 .
3. Ejemplo (el determinante deVandermonde para n = 2).
1 α1

det V (α1 , α2 ) =

1 α2

= α2 − α1 .

4. Ejemplo (el determinante de Vandermonde para n = 3).
2
1 α1 α1

det V (α1 , α2 , α3 ) =

2
1 α2 α2 .
2
1 α3 α3Para simplificar la ultima fila realicemos las siguientes operaciones con las columnas:
´
C 3 + = −α3 C 2 , C 2 + = −α3 C 1 .
2
1 α1 − α3 α1 − α1 α3

det V (α1 , α2 , α3 ) =

2
1 α2 − α3 α1 −α1 α3 .

1

0

p´gina 1 de 4
a

0

Expandamos el determinante a lo largo de la ultima fila:
´
det V (α1 , α2 , α3 ) = (−1)3+1

α1 − α3 α1 (α1 − α3 )
.
α2 − α3 α2 (α2 − α3 )

De laprimera fila factoricemos el factor com´n α1 − α3 ; de la segunda fila factoricemos
u
el factor com´n α2 − α3 :
u
1 α1
.
1 α2

det V (α1 , α2 , α3 ) = (α1 − α3 )(α2 − α3 )

El ultimo determinantees det V (α1 , α2 ) = α2 − α1 . Cambiando los signos de los factores
´
α1 − α3 y α2 − α3 , obtenemos:
det V (α1 , α2 , α3 ) = (α2 − α1 )(α3 − α1 )(α3 − α2 ).
5. Proposici´n (f´rmula para el...