Determinante de una matriz

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resoluciónde sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

* Determinantes de segundo orden

Dada una matriz de orden dos , se llama determinante de la matriz al númeroque se obtiene así: a11a22 - a12a21. Se representa como det A ó ½A½.

Ejemplo 1: = 3-(-8) = 11.

La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan losvectores (a11, a12) y (a21, a22).
 

* Determinantes de tercer orden
El determinante de de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:

En esta definición se establece un patrón demultiplicar cada elemento de la fila 1 por su cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar . A éste proceso se le conoce como expandir por primera fila, pero podemos expandir porcualquier fila o columna.

* Teorema de expansión de determinantes
El determinante de una matriz A de orden puede evaluarse multiplicando cada entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor ysumando los productos resultantes.
Ejemplo. Hallar el determinante de

Primero hallamos los cofactores de la primera fila:
- Cofactor de
- Cofactor de
- Cofactor de
Luego hallamos losmenores de la primera fila:

Ahora lo colocamos como la definición

* Teorema sobre una fila o columna de ceros
Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entoncesEjemplo: Calcule el determinante de
Observamos que en la matriz A y la segunda columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la segunda columna.Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Propiedades de la...
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