Determinantes 15606

Determinantes
Concepto de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por
|A| o por det (A).

A=

Determinante de orden uno
|a11| = a11
|5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21

Ejemplo:

Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 A = (aij). El determinante de A se calcula como sigue:
=
= a11 a22 a33 + a12 a23a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
Ejemplo:

=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la
matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con
signonegativo (cambian su signo).

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Regla de Sarrus
Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular
determinantes de orden 3.
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los productos de los elementos de la diagonal
principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados porlos productos de los elementos de la diagonal
secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario y adjunto
Menor complementario de un elemento de un determinante
Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz de orden n, al valor del
determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y lacolumna j. Se designa
por Mij

Adjunto de un elemento de un determinante
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +

si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar. Se designa generalmente por 𝛼𝑖𝑗 o por Aij

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El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por
sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) -2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes
1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0

Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales

Todos los elementos de una fila (o columna) son nulos.

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Los elementos de una fila (o columna) son combinación lineal del resto de filas (o columnas).

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangulares igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas) su determinante
cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados
previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica una fila (o columna) de un determinante por un númeroreal, el valor del
determinante queda multiplicado por dicho número.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho
determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
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Cálculo de determinantes
Determinante de orden uno
|a 11| = a 11
|-2| = -2Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres
Se aplica la regla de Sarrus:

Cálculo de un determinante de cualquier orden
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos,
menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una delas dos líneas: la fila o la
columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor
número posible de elementos nulos).

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2. En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y
realizaremos transformaciones para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con
alguna línea paralela)....