DETERMINANTES EJERCICIOS

EJERCICIOS DE DETERMINANTES

Cálculo de determinantes. Propiedades:
1. Calcular los siguientes determinantes de orden 2:
a) 7 − 1
2

h) 13
4

b) 4 11

4

6

0

−2

e) 7 21

3 1

3 7

4 12

7 −2

11 0

(Soluc: a) 30;

d) 3 7

j) 7 − 2

i) 1 0

6

c) 0 0

k) 3

l) − 140

11

21 77

f) 33 55
3

g) 13 6

5

4

2

7
−3

60

b) -66; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0; g) 2; h) -50; i) 0; j) 0; k) 0; l) 0)

2.Hallar el valor del determinante de: a) La matriz nula de orden 2 b) La identidad de orden 2 c) Cualquier matriz
diagonal de orden 2 (Soluc: a) 0; b) 1; c) el producto de los elementos de la diagonal)
Ejercicios libro: pág. 95: 1 y 2 (cálculo de determinantes de orden 2)
Ejercicios PAEG: 3B jun 2010

3. Calcular los siguientes determinantes de orden 3 aplicando la regla de Sarrus:
1 2

3

a) 1 1 - 1
20

5

3 -2 1

b) 3
3

1 5

6

4 5

2 2

3

5 1 4

9 0 3

g) 0 3 6

h) − 1 1 0

9 6 8

0 2

(Soluc: a) -15;
a b

4. Si p q

1 3 -1

c) 5 4

1

1 1

0 4 −1

i) 1 2

1

3 0

1

7 −4 3

3 -2 5

1

d) 8 7

6

e) 1

1 0 -1

4

7 3

f) 0

11 1

1 0

0

0 5

10 47 59

j) 0 10 91
0

0 10

b) -36; c) -11; d) 0; e) -168; f) 385)

2a

c

2c 2b

r = 25 , calcular razonadamente el valor de 2u 2w 2v
2p

u v w(Soluc: 200)

2r 2q

5. Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante vale 0:
1 a

b+c

1 b

a +c

1 c a+b
x

y z

6. Si 3 0 2 = 5 , calcular, sin desarrollar, los siguientes determinantes:
1 1 1

2x 2y 2z
a) 3/2 0 1
1
1 1

x
y
z
b) 3x + 3 3y 3z + 2
x +1 y +1 z +1

x - 1 y - 1 z -1
c) 4
1
3
1
1
1

(Soluc: todos valen 5)

ALFONSO GONZÁLEZ LÓPEZ
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DEMATEMÁTICAS

a b c


7. Dada A =  d e f  tal que det A=4, utilizar las propiedades de los determinantes para hallar el valor de:
g h i 


2g
t

a) det (2A)

b) det A

b 3a c
e) h 3g i
2e 6d 2f

a b - 2a a - c
f) d e - 2d d - f
g h - 2g g - i

c)

2h

2a + 3d 4c + 6f

2i

d)

a
b
c
d + 2a e + 2b f + 2c

(Soluc: a) 8; b) 4;

−d
g

− 2f
2i

2b + 3e
−e
h

c) 8; d) 16; e) 24; f) -4)

Ejercicioslibro: pág. 83: 3 y 4; págs. 95 y ss: 8, 14, 20, 38 y 39 (propiedades de los determinantes)
Ejercicios PAEG: 1B jun 2003; 4B jun 2002; 3B jun 2005; 3A sept 2006;

8. Sin desarrollar los determinantes, demostrar la identidad
1 a 2 a 3 bc a a 2
1 b 2 b3 = ca b b 2
1 c 2 c3 ab c c 2

9. Justificar que si A es una matriz cuadrada de orden 3 y k un número real, entonces det(kA)=k3 det(A)
10. Justificar,mediante una matriz de orden 3, que det A=det At
11. Resolver el problema 16 de los ejercicios del tema anterior mediante determinantes
(Ayuda: aplicar que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes)
12. Resolver las ecuaciones siguientes:
1 1

1

a) 1 x 1 = 0
1 1 x2

a

b

c

b) a

x

c =0

a

(Ayuda: previamente hacer ceros debajo de la diagonal)

b x

(Soluc:x=±1; x=b, x=c)

Ejercicios libro: pág. 95 y ss.: 3 y 15 (ecuaciones con determinantes)

13. (S) Resolver la ecuación det(A-xI)=0, siendo
 1 0 0


A =  2 2 4


 1 1 2

, I la matriz unidad de dimensión 3 y x∈ℜ la incógnita.

(Soluc: x=0, x=1, x=4)

14. Calcular por Gauss (es decir, haciendo ceros bajo la diagonal) los siguientes determinantes:
a)

1

1

1 1

-1

1

1 1

-1 -1

1 1

-1 -1-1 1

(Sol: a) 8;

b)

1

1

1 1

-1

x

1 1

-1 -1

x

1 3 2

c)

1

3 1 1 1

3 2 2 1

3 5 3 2

d) 1 3 1 1

e) 1 1 1 2
4 3 1 3
4 3 0 2

1

3 6 3 2

1 1 3 1

-1 -1 -1 x

6 4 5 3

1 1 1 3

b) (x+1)3; c) -2; d) 48; e) 2; f) -3)

3

2 2 4

f) 0 − 1 5 1
2
4

1 3 2
3 2 6

ALFONSO GONZÁLEZ LÓPEZ
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

15. Calcular por el método más conveniente (preferentementepor Laplace, haciendo ceros previamente):
2

3 -2 4

1 0 -1

1 2 3 4

2

5

1

2 2

a) 3 - 2

1 2

3

2

3 4

2 4

2

1

0 0

1 1

7

-1 1 6

2
e) - 2
3

-2

4

0 5

3 1

5 -3

3 4

1 2

8

-1 1 7

4

(Sol: a) -286;

b) 2 3 2 - 2

c) 2 1 2 1 d) 6 - 3 5 1

3
4
2

-5 4
7 3
-3 -5

-3

4

-2

f)

4 -3 5 - 2 3
5 6 6 4 5
2
4

3
4

5
7

3
4

2
4

3

3

6

3

3

b) -72; c) 0; d) 2; e) 1889; f) 6)...