Ejercicios matrices y determinantes 2ºbachillerato ciencias

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MATRICES Y DETERMINANTES

1.- Sabiendo que:

[pic]

calcula razonadamente el valor de los siguientes determinantes:

[pic]

2.- Resuelve la ecuación:

[pic]

3.-
(1) Si A y B son dos matrices cuadradas y del mismo orden, ¿es cierta, en general, la
relación [pic]?. Justifica la respuesta.

(2) Calcula según los valores de a, el rango de la matriz:

[pic]

4.-(1) Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden que tienen inversa. Razona
si su producto AB tiene inversa.

(2) Dadas las matrices:


[pic].

Determina si CD tiene inversa y, en ese caso, hállala.




5.- Dado [pic]R, considera la matriz:

[pic]

1) Calcula AAt, donde At denota la matriz traspuesta de A.

2) Prueba que A tiene inversa y hállala.6.- (1) Determina una matriz X que verifique la relación:

[pic]

(2) Calcula el determinante de la matriz X hallada.

7.- (1) Define el concepto de matriz inversa de una matriz cuadrada.

(2) ¿Qué condición debe cumplir el determinante de una matriz cuadrada para que esta sea invertible?


3) Estudia si hay algún valor de a para el que la siguiente matriz tiene inversa:[pic]

8.- Resuelve la ecuación:

[pic]

9.- Sea A la matriz:

[pic]

1) Comprueba que se verifica A2 – 2A + I = 0, sien I la matriz identidad de orden 3.

2) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente A-1 y A4.



10.- Sin desarrollar el determinante, demuestra que:

[pic].

Enuncia las propiedades de los determinantes que utilices.

11.-
(1)Dada la matriz:

[pic]

¿Para que valores del parámetro b no tiene inversa la matriz A?. Justifica la respuesta.

(2) Si existe, calcula la inversa de A para b = –1.

12.- Sabiendo que:

[pic]

Calcula de forma razonada el valor de los siguientes determinantes sin desarrollarlos:

[pic]

13.- De las matrices:
[pic]

Se sabe que:
[pic]

1) ¿Tiene A inversa?.Justifica la respuesta y si la respuesta es afirmativa indica cual es la inversa de A.


2) ¿Es cierto que A·B = B·A en este caso?
14.- ¿Puedes construir una matriz cuadrada y de orden 3 que verifique las condiciones (i) y (ii) escritas a continuación?

i) Su traspuesta y su inversa coinciden.


ii) Su determinante vale 5

Razona la respuesta.
15.-
(1) Dadaslas matrices [pic] y [pic], calcula la matriz X que
cumple que:

[pic]

(El superíndice t representa la matriz traspuesta)

(2) ¿Tiene X matriz inversa? Justifica la respuesta.

16.- Sea A una matriz no nula dada y considera la ecuación matricial AX = A + X, donde X es la incógnita.

1) Encuentra razonadamente la relación que debe existir entre lasdimensiones de A y de X para que la ecuación tenga sentido.


2) ¿Puede ser la suma de dos soluciones una nueva solución? ¿Y el producto de un número por una solución? Justifica la respuesta.

3) Si [pic] y buscamos una solución de la forma [pic], discute la ecuación matricial que resulta y resuélvelo cuando sea posible.

17.- Considera las matrices:
[pic]

1) Determina si A y Bson invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa.


2) Resuelve la ecuación matricial BA – A2 = AB – X.



18.- Sea C la matriz, que depende de un parámetro m, dada por:

[pic]

1) ¿Para qué valores del parámetro m no tiene inversa la matriz C?

2) Calcula la matriz inversa de C para m = 2.

19.- Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe unamatriz invertible P tal que AP = PB.

1) Prueba que las matrices [pic] son semejantes.


2) Resuelve los sistemas:

[pic]


20.- Se dice que una matriz A cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1 y su traspuesta At coinciden. Dado un número real x, sea B la matriz:

[pic]

1) ¿Es ortogonal la matriz B?


2) ¿Es B2 ortogonal?

21.- La matriz...
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