Determinantes y matrices

Tema I. Matrices y determinantes
1. Matrices sobre un cuerpo ©2007 Carmen Moreno Valencia 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo de determinantes 6. Inversa de una matriz cuadrada 7. Rango de una matriz 1. Matrices sobre un cuerpo Definición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto demn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas,
 a11 a  21 A =  a31   a  m1 a12 a22 a32 am 2 a13 a23 a33 am 3 a1n  a2 n   a3n    amn  

• A = ( aij),

i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n.

aij ŒK

Matrices 2

• El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa aij,

2. Producto por escalares

• Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices

sobre K de mfilas y n columnas.
Ej.

 1  π 1  2

 2   −1  ∈ M 3×2 (R)  − 2 

• Matriz Fila: A ŒM1xn(K)

Matrices 3

A = (1 π

−1) ∈ M 1×3 (R)

• Matriz Columna: AŒMmx1(K)

 1    A =  3  ∈ M 3×1 (R)  2  

• Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K). Tiene el mismo número de filas que de columnas

• Diagonal Principal de A la forman los

elementos de la forma aii(iguales subíndices)

Matrices 4

• Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos

elementos no nulos son los de la diagonal principal. • Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad) Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: aii=1; aij=0, iπj

• Matriz triangular Una matriz cuadrada A = ( aij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien pordebajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, aij = 0 para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j

• Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son iguales cuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n

Matrices 5

•Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej.  1 −2 −1
A = 2 4   0 −1  3 0

 ∈ M (R) 3     1 −2  Una submatriz de A es B = 2 4  ∈ M 3×2 (R)    0 −1   

2. Operaciones con matrices 1. Suma Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij) A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+bij i=1,..., m, j=1,...,n
Ej.
 1 −1 A= 2 1 1 A+ B =  4 0 0 0 1   , B =  2 1 −1 ∈ M 2×3 (R) 0   −1 1   ∈ M 2×3 (R) 2 −1

• (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano • El elemento neutro
0 = (0)i =1,..,m
j =1,.., n

Matrices 60 =  0 

0   0  − a1n    − amn  

• La opuesta de A:

− A = (− aij )i =1,..,m
j =1,.., n

 − a11 =   −a  m1

2. Producto por escalares λŒK, A ŒMmxn(K)
 λ a11 =   λa  m1

λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij )i =1,..,m = ( λ ⋅ aij )i =1,..,m =
j =1,.., n j =1,.., n

  λ amn  

λ a1n 

Ejemplo (Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K

3. Producto de matricesMatrices 7

• A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B • AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz producto C= A · B = (cij), ŒMmxp
= ∑ aik ⋅ bkj
k =1 k =n

cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj

Ejemplo

Propiedades • Asociativa A(BC)=(AB)C •Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC • λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B)

Matrices 8

(Mn(K), +, ·): Anillo unitario
Unidaddel anillo: In: A· In= In·A=A • El producto de matrices no es conmutativo:

4. Matriz traspuesta Dada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz Traspuesta de A, At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m

Matrices 9

Propiedades Sean A, BŒMmxn(K) , C ŒMnxp (K). • (A+B)t=At+Bt • (AC)t=CtAt • (At)t=A • (λA)t=λ(A)t Una matriz cuadrada es simétrica si A = At, (aij = aji para todos i, j) Sus elementostienen simetría respecto de la diagonal principal.

Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = -At, (aij = -aji para todos i, j) Los elementos de la diagonal principal son nulos
 0 −1 −2   0 1 2 A =  1 0 −1  , At =  −1 0 1      2 1 0   −2 −1 0     

Matrices 10

A = -At : A Antisimétrica
Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simétrica y otra...