Determinantes

UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
TRABAJO DE INVESTIGACION

ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL

PROFESOR: ING. HERNAN PESANTEZ

TEMA: DETERMINANTES.

REALIZDO POR: PAÚL ORELLANA

CICLO: SEGUNDO

PERIODO MARZO 2011-AGOSTO 2011

OBJETIVOS: 1 Conocer y entender el concepto de la función determinante así como las distintas propiedades que cumple. 2Exponer las distintas maneras de encontrar el determinante de una matriz. 3 Hallar la inversa de una matriz. 4 Conocer las aplicaciones de la determinante.

CONTENIDO: 1. Introducción. 1.1.Ejemplos de la notación. 2. Definición de la Función determinante. 2.1.Conceptos previos. 2.2.Definición. 3. Propiedades de los Determinantes. 4. Formulas para desarrollar Determinantes. 5. Producto deDeterminantes. 6. Determinante de la Matriz Inversa de una Matriz no Singular. 7. Determinante de una Matriz Transpuesta. 8. Aplicaciones de los Determinantes: Obtención de la Inversa de una Matriz. 9. Aplicaciones de los Determinantes: Regla de Cramer. 10.Aplicaciones de los Determinantes: Obtención de Áreas, Volúmenes, y Ecuaciones de Rectas y Planos.

DESARROLLO
1. INTRODUCCION: A cada matriz cuadradaA de orden n se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A). El valor de dicho escalar o del determinante de A se obtiene a partir de los elementos de la matriz. La importancia de su estudio radica en que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. Para dar una definición deldeterminante de una matriz cuadrada A es necesario establecer la relación matemática entre los elementos de A, por lo cual se introducen algunos conceptos previos en los cuales se sustenta dicha definición, conceptos tales como: el de permutación, el producto elemental de una matriz y el signo que se da a este ultimo. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron aldesarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Goofried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hayquienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

2. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DETERMINANTE:

2.1. Conceptos previos: a) Permutación: Es un arreglo de todos los elementos de un conjunto considerando el orden en su ubicación, es decir, las permutaciones de los elementos de un conjunto son los diferentes grupos que pueden formarse con los elementos, de modo quelos grupos son diferentes entre si porque sus elementos están en distinto orden. Así por ejemplo si tomamos el conjunto tenemos dos posibles ordenamientos para sus elementos y, por lo tanto, dos posibles permutaciones que son: se puede denotar como que son las permutaciones posibles con dos elementos.
Ejemplo 1: determinar las permutaciones del conjunto : tomando “1” como primer elemento tenemos(1,2,3)y (1,3,2) de la misma manera para los elementos “2” y “3” tenemos (2,1,3); (2,3,1) y (3,1,2); (3,2,1) respectivamente observamos que existen seis ordenamientos posibles, con dos permutaciones posibles por cada elemento como inicial, entonces podemos decir que =6 Ejemplo 2: las permutaciones de Podemos simplificar el proceso gráficamente formando lo que se conoce como árbol de permutaciones:En donde cada rama del árbol representa un ordenamiento distinto de los elementos y por lo tanto una permutación distinta, entonces al contar el numero de ramas concluimos que existen 24 permutaciones pero nuevamente observamos que por cada elemento existen seis permutaciones de tres elementos, por lo que de donde ;a consecuencia de esto podemos concluir que el número de permutaciones...