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Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e

Tema 1: An´lisis Vectorial a
1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Superficie equiescalar. Campos vectoriales. L´ ıneas y tubos de campo. 2. Integrales sobre campos: De l´ ınea. Circulaci´n. De superficie. Flujo. De volumen. o 3. Gradiente: Derivada direccional. Definici´n de gradiente en coordenadascartesianas. Intero pretaci´n geom´trica y propiedades. Definici´n intr´ o e o ınseca. Componentes en distintos sistemas coordenados. 4. Divergencia: Definici´n intr´ o ınseca. Expresi´n en distintos sistemas coordenados. Interpretaci´n o o f´ ısica. Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky). 5. Rotacional: Definiciones intr´ ınsecas. Expresi´n en distintos sistemas coordenados. Intero pretaci´nf´ o ısica. Teorema de Stokes. 6. El operador nabla: Propiedades. Aplicaci´n doble sobre campos. Aplicaci´n sobre productos o o de campos. 7. Diadas: Definici´n y propiedades. Aplicaciones al c´lculo diferencial. o a 8. Algunos teoremas integrales: Teoremas de Green. Teorema del gradiente. Otros teoremas. ´ ´ 9. Angulo s´lido: Definici´n y medida. Interpretaci´n geom´trica. Angulo s´lido subtendidopor o o o e o una superficie cerrada. 10. Funci´n δ de Dirac: Definici´n. Distribuciones. Propiedades. Funci´n δ tridimensional. Aplio o o caciones f´ ısicas. 11. Campos irrotacionales: definici´n y propiedades. o 12. Campos solenoidales: definici´n y propiedades. o 13. Campos arm´nicos: definici´n y propiedades. o o 14. Teorema de Helmholtz: Enunciado y demostraci´n. Fuentes escalares y vectoriales. o1.1.

Campos escalares y vectoriales

• Se define campo escalar, ϕ(r), como una funci´n de la posici´n que a cada punto del espacio o o asigna una magnitud escalar. La funci´n debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener o significado f´ ısico. Ejemplos de campos escalares son la presi´n p, densidad ρ y temperatura T de un cuerpo, o definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo,ahora en dos dimensiones, es el de la altitud de un punto geogr´fico, h(x, y), respecto del nivel del mar. a Una representaci´n muy util de un campo escalar se consigue mediante una familia de supero ´ ficies equiescalares, definidas como el lugar geom´trico de puntos que satisfacen la ecuaci´n e o ϕ(x, y, z) = C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que, alvariar, nos genera la familia. Un ejemplo de representaci´n mediante una familia de superficies o a ıneas de nivel, o altitud constante. equiescalares lo tenemos en los mapas topogr´ficos que incluyen l´ En este caso bidimensional las superficies se sustituyen por l´ ıneas. • Se define campo vectorial, F (r), como una funci´n de la posici´n que a cada punto del espacio o o Tema 1: An´lisis Vectorial a 1Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e

asigna una magnitud vectorial. La funci´n debe ser tambi´n monovaluada por la misma raz´n, o e o pero adem´s para que se trate de una magnitud vectorial debemos exigir que sus componentes se a transformen como las del vector de posici´n ante una transformaci´n de coordenadas. o o El campo de velocidades de unfluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales, pero la terna de campos escalares (p, ρ, T ) no lo es. Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de l´ ıneas de campo, que se definen como aquellas curvas que cumplen la condici´n de ser tangentes al campo o en cada uno de sus puntos. Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial r0 mediantela concatenaci´n de vectores elementales dados por la expresi´n Δri+1 = F (ri ), (i = 0, 1, . . .), o o donde el par´metro se hace tender a cero. Las ecuaciones que determinan este lugar geom´trico a e expresan simplemente la condici´n de paralelismo entre dr y F (r) en cada punto. En coordenadas o cartesianas, dx dy dz = = . Fx Fy Fz

z

eF(r0) r0 r1 rn

eF(rn-1)

O x

y

Tambi´n...