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Páginas: 7 (1528 palabras)
Publicado: 7 de abril de 2010
Cap´ ıtulo 16 Teorema de pit´goras a
Hemos visto que la raz´n de segmentos es igual a la de sus medidas tomao das con una misma unidad. Toda proporci´n entre segmentos puede interpreo tarse como proporci´n entre sus medidas. Habiendo elegido (arbitrariamente) o una unidad, a todo segmento le corresponde el n´mero real de su medida con u respecto a dicha unidad. En lo que sigue, supondremos quehemos fijado una unidad y entenderemos la expresi´n AB·CD como el producto de las medidas o con respecto a la unidad elegida de los segmentos AB y CD.
16.1.
Rectas antiparalelas
B B’ a
Figura 1 Sean a y b dos rectas secantes en O. Sean r y s rectas secantes en los puntos A, B y A , B a las rectas a y b respectivamente, de modo que los pares AA y BB est´n a un e mismo lado o a distinto ladode O, y que el ´ngulo OAB sea igual a a A B O. Diremos que las rectas r y s son antiparalelas respecto de a y b. Tambi´n son iguales los ´ngulos e a
s b
r
O A’
A
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´ CAP´ ITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS
∠ABO y ∠B A O por ser suplementarios de la suma de los anteriores con s b AOB. La recta r forma as´ con cada ı O a una de las rectas a y b, ´ngulos iguales a A A’ a losque su antiparalela s forma con estas. Se sigue que el antiparalelismo B’ es una relaci´n rec´ o ıproca, esto es: Las rectas a y b son tambi´n antiparalelas e Figura 2 respecto de r y s. Los tri´ngulos AOB y B OA son semejantes porque tienen, respectivaa mente iguales los ´ngulos hom´logos en este orden. Por tanto a o
B
r
OB OA = , OB OA OA · OA = OB · OB .
(16.1) (16.2)
Dos rectasconcurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en puntos cuyo producto de distancias a O es el mismo en ambas rectas Reciprocamente, si se verifica (16.2), o equivalentemente se verifica (16.1) y los ´ngulos OAB y OB A son iguales, los tri´ngulos OAB y OBA son a a semejantes y las rectas AB y A B son antiparalelas de las rectas OA y OB. De (16.1) tambi´n se desperende que eOB OA = , OB OA (16.3)
B r b O s a A ' A
de modo que las rectas AB y A B tambi´n son antiparalelas de OA y e OB. Si B coincide con B tendremos OA · OA = (OB)2 . Diremos que el segmento OB es medio proporcional entre los segmentos OA y OA .
Figura 3
16.1. RECTAS ANTIPARALELAS
139
16.1.1.
Tri´ngulo rect´ngulo a a
Consideremos el tri´ngulo rect´ngulo ABC, con ´ngulo recto enC. Sea a a a CH la altura del v´rtice C. Tenemos que el cateto CB y la altura CH son e antiparalelas de la hipotenusa AB y el otro cateto AC. Similarmente, la altura CH y el cateto AC son antiparalelas del otro cateto y la hipotenusa.
C
Se sigue que (AC)2 = AH · AB (16.4) (BC)2 = BH · BA (16.5)
B Cada cateto de un tri´ngulo rect´ngua a lo es medio proporcional entre la hiFigura 4 potenusa ysu proyecci´n sobre ella. o De la semejanza de los tri´ngulos ACH y CBH se desprende que a
HC HA = HC HB de donde HA · HB = (HC)2 (16.6)
A
H
La altura sobre la hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo es media proporcional a a entre los segmentos en que aquella divide a esta. El rec´ ıproco tambi´n es cierto: Si la altura de un tri´ngulo verifica la e a ecuaci´n (16.6) entonces el tri´nguloes rect´ngulo. o a a En efecto, (16.6) prueba que el los tri´ngulos ACH y CBH son semejantes a y ∠ACH = ∠CBH = 90◦ − ∠HCB de donde ∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = 90◦ .
16.1.2.
Construcciones de medias proporcionales
Los teoremas anteriores permiten la construcci´n del segmento x medio o proporcional a dos segmentos a y b dados. En la figura de la izquierda se ha
140
´ CAP´ ITULO 16. TEOREMADE PITAGORAS construido el segmento AB = a+b, la semicircunferencia ACB de di´metro a AB y el punto H tal que AH = a. La altura del tri´ngulo es el segmena to buscado. En la figura de la derecha, sea ha construido el segmento AB = b, la semicircunferencia con dicho di´metro y el punto H de forma a tal que AH = a. El cateto AC cuya proyecci´n es AH es el segmento o buscado.
a C x A a H b B b C...
Hemos visto que la raz´n de segmentos es igual a la de sus medidas tomao das con una misma unidad. Toda proporci´n entre segmentos puede interpreo tarse como proporci´n entre sus medidas. Habiendo elegido (arbitrariamente) o una unidad, a todo segmento le corresponde el n´mero real de su medida con u respecto a dicha unidad. En lo que sigue, supondremos quehemos fijado una unidad y entenderemos la expresi´n AB·CD como el producto de las medidas o con respecto a la unidad elegida de los segmentos AB y CD.
16.1.
Rectas antiparalelas
B B’ a
Figura 1 Sean a y b dos rectas secantes en O. Sean r y s rectas secantes en los puntos A, B y A , B a las rectas a y b respectivamente, de modo que los pares AA y BB est´n a un e mismo lado o a distinto ladode O, y que el ´ngulo OAB sea igual a a A B O. Diremos que las rectas r y s son antiparalelas respecto de a y b. Tambi´n son iguales los ´ngulos e a
s b
r
O A’
A
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´ CAP´ ITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS
∠ABO y ∠B A O por ser suplementarios de la suma de los anteriores con s b AOB. La recta r forma as´ con cada ı O a una de las rectas a y b, ´ngulos iguales a A A’ a losque su antiparalela s forma con estas. Se sigue que el antiparalelismo B’ es una relaci´n rec´ o ıproca, esto es: Las rectas a y b son tambi´n antiparalelas e Figura 2 respecto de r y s. Los tri´ngulos AOB y B OA son semejantes porque tienen, respectivaa mente iguales los ´ngulos hom´logos en este orden. Por tanto a o
B
r
OB OA = , OB OA OA · OA = OB · OB .
(16.1) (16.2)
Dos rectasconcurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en puntos cuyo producto de distancias a O es el mismo en ambas rectas Reciprocamente, si se verifica (16.2), o equivalentemente se verifica (16.1) y los ´ngulos OAB y OB A son iguales, los tri´ngulos OAB y OBA son a a semejantes y las rectas AB y A B son antiparalelas de las rectas OA y OB. De (16.1) tambi´n se desperende que eOB OA = , OB OA (16.3)
B r b O s a A ' A
de modo que las rectas AB y A B tambi´n son antiparalelas de OA y e OB. Si B coincide con B tendremos OA · OA = (OB)2 . Diremos que el segmento OB es medio proporcional entre los segmentos OA y OA .
Figura 3
16.1. RECTAS ANTIPARALELAS
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16.1.1.
Tri´ngulo rect´ngulo a a
Consideremos el tri´ngulo rect´ngulo ABC, con ´ngulo recto enC. Sea a a a CH la altura del v´rtice C. Tenemos que el cateto CB y la altura CH son e antiparalelas de la hipotenusa AB y el otro cateto AC. Similarmente, la altura CH y el cateto AC son antiparalelas del otro cateto y la hipotenusa.
C
Se sigue que (AC)2 = AH · AB (16.4) (BC)2 = BH · BA (16.5)
B Cada cateto de un tri´ngulo rect´ngua a lo es medio proporcional entre la hiFigura 4 potenusa ysu proyecci´n sobre ella. o De la semejanza de los tri´ngulos ACH y CBH se desprende que a
HC HA = HC HB de donde HA · HB = (HC)2 (16.6)
A
H
La altura sobre la hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo es media proporcional a a entre los segmentos en que aquella divide a esta. El rec´ ıproco tambi´n es cierto: Si la altura de un tri´ngulo verifica la e a ecuaci´n (16.6) entonces el tri´nguloes rect´ngulo. o a a En efecto, (16.6) prueba que el los tri´ngulos ACH y CBH son semejantes a y ∠ACH = ∠CBH = 90◦ − ∠HCB de donde ∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = 90◦ .
16.1.2.
Construcciones de medias proporcionales
Los teoremas anteriores permiten la construcci´n del segmento x medio o proporcional a dos segmentos a y b dados. En la figura de la izquierda se ha
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´ CAP´ ITULO 16. TEOREMADE PITAGORAS construido el segmento AB = a+b, la semicircunferencia ACB de di´metro a AB y el punto H tal que AH = a. La altura del tri´ngulo es el segmena to buscado. En la figura de la derecha, sea ha construido el segmento AB = b, la semicircunferencia con dicho di´metro y el punto H de forma a tal que AH = a. El cateto AC cuya proyecci´n es AH es el segmento o buscado.
a C x A a H b B b C...
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