diferenciabilidad

  Diferenciabilidad de funciones de varias variables 

 


x6
si x, y   0,0

1.- Sea la función f x, y    x 2  y  x 6
. Probar que:
0
si x, y   0,0

a) Existen las derivadas parciales de f en (0, 0).
b) f no es continua en (0,0).





1

si x  y  0
x  y  sen
xy
.
2.- Sea la función f x , y   
0
si x  y  0

a) Probar que f escontinua en (0,0).
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? (Nota: investigar la existencia de derivadas
parciales).

 x3

3.- Hallar la derivada direccional de z   x 2  y 2
0


según la dirección del vector u  (1, 2) :

si x, y   0,0
si x, y   0,0 

en el punto (0,0),

4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del viento viene dada por
E = 0,0817 (3,71 v+5,81-0,25v)(T-91,4) + 91,4
donde v es la velocidad del viento en millas/h y T la temperatura en grados Fahrenheit.
Supongamos que la velocidad del viento es 23  3 millas/h y la temperatura 8º  1º.
Usar dE para estimar el error propagado máximo y el error relativo al calcular el efecto
enfriador E.
5.- La superficie de una montaña admite aproximadamente el modelo:
h ( x, y)  5000  0.001 x 2  0.004 y2 .
Si un montañero se encuentra en el punto (50, 300, 4390), ¿En qué dirección debe
moverse si desea ascender con la mayor rapidez posible?
6.- La temperatura en un entorno del origen viene dada por una función de la forma
T ( x , y)  T0  e y sen x . Hallar la trayectoria seguida por una partícula, originada en el
origen, que huye del calor. Hallar la variación de temperatura queexperimentaría la

partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-2).
7.- Un campo escalar diferenciable z = f(x, y) tiene, en el punto P(1,2) las derivadas
direccionales +2 en dirección al punto A(2,2) y –2 en dirección al punto B(1,1).
Determinar el vector gradiente en P y calcular la derivada direccional en P en dirección
al punto C(4,6).
8.- Hallar la constante c tal que en todo punto dela intersección de las dos esferas
x  c 2  y 2  z 2  3 ; x 2  y  c 2  z 2  1

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 

 

Asignatura: Métodos Matemáticos  1 

  Diferenciabilidad de funciones de varias variables 

 

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí.

x  cost
y la

 y  sent
temperatura del agua en el estanque está dada por laexpresión T = x2 ey – x y3. Hallar el
T
coeficiente de variación de la temperatura
que puede sentir el pato:
t
a) Expresando T en términos de t y diferenciando.
b) Mediante la regla de la cadena.
9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad

x  u  v
10.- El cambio de variables 
transforma z = f(x,y) en z = g(u,v). Calcular el
2
 y  uv
 2f
 2f
f  2 f  2 f 2z
 2  2 

 1 en
valor de
en el punto u =1, v =1, sabiendo que
y x
y
xy yx
vu
dicho punto.
11.- La ecuación xy + xz3 + zy + 1 = 0 define implícitamente una función real de dos
variables reales z=f(x,y).
a) Hallar el vector gradiente de f en el punto P(-1,1,0).
b) Calcular la derivada direccional de z en P en la dirección de descenso más
pronunciado.
c) Dar laecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P.
 2z
en P.
d) Hallar
y 2
12.- Dada la función f(x, y) = x  tg y , se pide:
a) Hallar el dominio de f.
 
b) Dar las direcciones de máximo y nulo crecimiento de f en el punto P  2,  .
 4
c) Calcular la derivada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo
 con el eje de abscisas.
d) Hallar la aproximaciónlineal (plano tangente) de f(x,y) en P.
e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud “x” es de un 2% y el de
“y” un 5% ¿cuál es la estimación del error propagado?
x  cos t
f) Calcula la derivada de f respecto de t en la circunferencia 
.
 y  sen t

13.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es T ( x , y) 

3x
.
x  y2
2

a) Hallar la curva de...