Diferenciacion E Integracion Numerica

TEMA:

DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA



Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) sele conoce como primera diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.
Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de laecuación 2.
Las primeras usan a , mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada.
Las aproximaciones mas exactas de la primer derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden mas alto.
Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundoorden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.






Diferenciación e Integración Numérica
Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamenteen un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en terminos del limite:

De estadefinición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el simbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

donde esta entre x y x+h. Sidespejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).
Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores como función de "h" en escala logarítmica.



El método de arriba usando la expansión de Taylor se puedeutilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta terminos de orden dos, expandimos hasta terminos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:

Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valormedio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:

donde

y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos pues que la formula tiene un error proporcional a O(h2).
Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de para . Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:
h




0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.8526360.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788
0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492
0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281
Este ejemplo ilustra lo superior de la formula . Note que cada ves que h se divide entre dos, el error en la formula se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).
En forma similar...