diferenciacion numerica


INDICE

Introducción ------------------------------------------------------------------- 2
Objetivos ----------------------------------------------------------------------- 3
Diferenciación numérica por el método de Taylor ----------------- 4
Diferenciación numérica por el método de Newton – Gregory – 9
Primeras Derivadas de los Polinomios Interpolantes --------- 9
Formulas paraDerivadas de Mayor Orden --------------------- 14
Diagrama de Rombos para Derivadas ---------------------------------- 17
Técnicas de Extrapolación -------------------------------------------------- 21
Anexo ----------------------------------------------------------------------------- 25

Conclusiones ------------------------------------------------------------------- 27

Recomendaciones------------------------------------------------------------- 28

Bibliografía --------------------------------------------------------------------- 29









Introducción

Diferenciación numérica

La diferenciación de funciones es una operación matemática importante, y que el estudiante utiliza mucho de su tiempo aprendiendo técnicas, para hacer estas operaciones. Aprende las pruebasde las fórmulas que le permiten expresar la derivada de una función, dado el enunciado de la función, como una expresión en x. Sin embargo supóngase que la función no es conocida como una expresión explícita en términos de x, sino sólo como una tabulación de valores. En el presente trabajo se estudian técnicas numéricas que permiten el cálculo de los valores de la derivada de una funcióntabulada.












Objetivos

Desarrollar la temática de forma extensa y clara a fin de tener una mejor concepción y percepción del desarrollo matemático que implica el uso de las formulas dadas en clase; a través de los siguientes puntos:

El aanálisis de estrategias prácticas para encontrar la derivada de una función cualquiera.

Aplicar los métodos numéricos de diferenciación enla resolución de problemas.











Diferenciación Numérica, método de Taylor
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta sección delpresente trabajo estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos dainmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproximaa f'(x) con un error proporcional a "h", y, O(h).
Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores como función de "h" en escala logarítmica.

Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "h min." luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye.
¿Contradice esto el resultado de arriba deO(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de proximidad digamos O(h2)...