Diferenciación Numérica

Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamenteen un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función yveremos el análisis de error de dichas formulas.
Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" está dada en términos del límite:

De estadefinición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera fórmula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplosdonde usamos esta fórmula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

donde  esta entre x y x+h. Si despejamosahora en esta fórmula por f'(x) y usamos la definición de  tenemos que:

Esta fórmula nos dice que  aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).
Ejemplo 1: Tomamos  y queremosaproximar  cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores  como función de "h" en escala logarítmica. 


Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor critico"hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética esexacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquierformula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así...