Diferenciaci N

Diferenciaci´on

1

Cap´ıtulo II: Diferenciaci´
on
Profesores: Gladys Figueroa Rebolledo, y
Ra´
ul Fierro Pradenas.

1.

Derivadas Parciales

Definici´
on 1 Sean D ⊆ Rn un conjunto abierto, a ∈ D, η ∈ Rn tal que η = 1 y
f : D → R. La derivada direccional de f en a en la direcci´on η, se define (cuando
existe) como
(1.1)

∂f
∂η

= l´ımh→0 h1 [f (a + hη) − f (a)].

Observaci´
on 2 Para fijar ideas,mantengamos las notaciones de la definici´on precedente, pero fijemos n = 2.
En este caso, la derivada direccional de f en (a, b) en la direcci´on η, es la pendiente
de la recta

tangente a la superficie representada por Figura 2.1, en la direcci´on del

vector η.

z
✻

(a,❤b, f (a, b))
❤❤•❤
❤❤❤
❤❤❤

❤❤❤❤

✑
✑
✑
✑
✑

•❳ ❳
(a, b,❳
0) ❳❳
③
η

✲

y

✑
✰x
✑

Figura 2.1

Ejemplo 3 Sea f : R2 → R talque f (x, y) = sen(xy). Calcular

∂f
(0, 1),
∂η

donde

2

Figueroa y Fierro

√
η = ( 3/2, 1/2).
Definici´
on 4 Sean D ⊆ Rn un conjunto abierto, a ∈ D y f : D → R. La derivada
parcial de f en a con respecto a la k-´esima variable, se define (cuando existe) como
∂f
∂f
(a) =
(a),
∂xk
∂ek
donde e1 , . . . , en son los vectores de la base can´onica de Rn .
(4.1)

Observaci´
on 5 Si a = (a1 , . . . ,an ), entonces con las notaciones de la definici´on
precedente, se tiene
∂f
1
(5.1)
(a) = l´ım [f (a1 , . . . , ak , ak + h, ak+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an )].
h→0 h
∂xk
∂f
(a),
∂xk

Luego, para calcular

simplemente se deriva f respecto de la k-´esima va-

riable manteniendo constante las restantes y evaluando esta derivada en a.
Definici´
on 6 Sean D ⊆ Rn un conjunto abierto, a ∈ D y f: D → R tal que existen
sus derivadas parciales en a. El gradiente de f en a (el cual anotaremos ∇f (a)) es el
vector de Rn formado por las derivadas parciales de f en a; es decir,
(6.1)

∂f
∂f
∇f (a) = ( ∂x
(a)).
(a), . . . , ∂x
n
1

Ejemplos 7
∂f
(1, 0)
∂η

√
√
si f (x, y) = tan(xy) y η = ( 2/2, 2/2).

(7.1)

Calcular

(7.2)

Calcular ∇f (0, 0) si
f (x, y) =

xy
x2 +y 2

si (x, y) = (0, 0)

0si (x, y) = (0, 0).

Observaci´
on 8 Sean D ⊆ R2 un conjunto abierto y f : D → R tal que existen
∂f
(a, b)
∂x

y

∂f
(a, b)
∂x

para todo (a, b) ∈ D. Luego,
∂
∂y

En el caso que exista
(8.1)

∂2f
(a, b)
∂y∂x

=

∂
∂y

∂f
∂x
∂f
∂x

, anotaremos
(a, b).

An´alogamente se define
(8.2)

∂2f
(a, b)
∂x∂y

(8.3)

∂2f
(a, b)
∂x2

=

=

∂
∂x

∂
∂x

∂f
∂y
∂f
∂x

(a, b),
(a, b),

∂f
∂x

y

∂f
∂y

sonfunciones de D en R.

Diferenciaci´on

(8.4)

3

∂2f
(a, b)
∂y 2

=

∂
∂y

∂f
∂y

(a, b).

Ejemplos 9
(9.1)

Sea f (x, y) = x2 y + (x + y)2 . Calcular

2
∂2f
, ∂f
∂y∂x ∂x∂y

y notar que

∂2f
∂2f
(a, b) =
(a, b).
∂y∂x
∂x∂y
(9.2)

Sea
f (x, y) =

Calcular

∂2f
∂2f
(0, 0), ∂x∂y
(0, 0)
∂y∂x

xy(x2 −y 2 )
x2 +y 2

si (x, y) = (0, 0)

0

si (x, y) = (0, 0)

y notar que
∂2f
∂2f
(0, 0) =
(0, 0).
∂y∂x
∂x∂yTeorema 10 Sea f : D ⊆ Rn → R y a ∈ D. Supongamos adem´as que f ,

∂f
∂xi

y

∂2f
∂xi ∂xj

(i, j = 1, . . . , n) existen y son continuas en V para alguna V ∈ V(a). Entonces,
(10.1)

∂2f
(a)
∂xi ∂xj

=

∂2f
(a).
∂xj ∂xi

Definici´
on 11 Si una funci´on f : D ⊆ Rn → R satisface los supuestos del teorema
precedente, se dice que f es de clase C2 .
Ejercicios propuestos
1. En cada uno de los casossiguientes, calcule

∂f
(x, y)
∂η

para f : R2 → R y η dados.

(1.1) f (x, y) = x + y, η = (1, 0).
(1.2) f (x, y) = sen(xy), η = (0, 1).
√
√
(1.3) f (x, y) = x + y, η = ( 2/2, 2/2)
√
(1.4) f (x, y) = sen(xy), η = (1/2, 3/2).
Respuestas:

(1.1) 1.
√
(1.3)
2.

(1.2) x cos(xy).
√
(1.4) ( 3x + y) cos(xy)/2.

2. Sea f : R3 → R tal que f (x, y, z) = xyz. Calcule la derivada direccional de f en
(1, 2, 3), en ladirecci´on que va desde este punto al punto (3, 1, 5).

4

Figueroa y Fierro
Respuesta: 13/3.

3. Sea f (x, y) = xy tan(y/x). Demuestre que en su dominio, la funci´on f satisface la
ecuaci´on siguiente:
x

∂f
∂f
+y
= 2f.
∂x
∂y

4. Se dice que una funci´on u : D ⊆ Rn → R satisface la ecuaci´on de Laplace (notaci´on:
u = 0), si y s´olo si, para todo a ∈ D,

∂2u
(a)
∂x1

+ ··· +

∂2u
(a)
∂xn

= 0....