Diferenciales Joffre 2015 1

1

U ni ve r s i da d Ce ntr oc c i d e nta l
“ LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE AGRONOMIA
De par ta me nto Inge ni ería Agrí col a
Cá tedr a de Ma te má tic a II

UNIDAD I
MATEMÁTICA II

PROFA. JOFFRE HERNÁNDEZ
LAPSO 2015-1

2

LAS DIFERENCIALES dy y dx
Sea f ( x) = y , una func i ón derivabl e d e fi ni da e n un i nte r val o [a, b] , e s d ecir f ` ( x) e xis te
dy
dy
p ara todo x e n e l inter val o [a, b] ; e ntonc es , se ti e ne que f ` ( x) =
, ca be des tac ar q ue
dx
dx
no debía considerar como una frac ció n or di naria c o n d y c o mo nume r ad or y d x co mo
f ( x + ∆x) − f ( x)
d e nomi nador si no como s í mbolo us ado par a de no ta r f ` ( x) = Lim
.
∆x →0
∆x
∆y
, donde ∆y y ∆x se le lla ma n
Si lla ma mos ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) , e nto nce s f ` ( x) = Lim
∆x →0 ∆xi ncre me ntos de y y x r espec ti va me nte .
Si f ´(x) e s l a deri va da de f (x) para un v a l or par ti c ul ar de x y ∆x i ncr e me nto d e x,
a rbi tr aria me nte e le gi do, l a di fe re ncial d e f (x) , q ue s e r epr ese nta df (x) , se de fi ne:
dy = f ` ( x)∆x , si f ( x) = x , e ntonce s f ` ( x) = 1 , por lo q ue e n l a fór mul a dx = ∆x
Así , c ua ndo la va riabl e i ndepe ndiente es x, l a di fer e ncial de x, d x, es id é nti ca a ∆x . Por
l o ta nto si f ( x) = y , e ntonce s di fe re ncial d e y s e de fi ne:
dy = f ` ( x) dx

DIFERENCIAL DE y
En la gr á fic a, id e nti fi ca mo s l os p unto s P
y Q de c oor de na das:
P( x, f ( x)) y Q( x + ∆x, f ( x + ∆x))
Obser va mos la rec ta S, Se ca nte, que p asa
p or l os p unto s P y Q y l a re c ta T,
Ta nge nte , q ue pasa por el p unto P.
La pe ndi e nte de la rec ta S, vie ne da do
p or:
f ( x + ∆x) − f ( x) f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y
mS =
=
=
( x + ∆x) − x
∆x
∆x
Re cor de mo s q ue f ´(x) = mT , es de cir l a

p e ndie nte de de l a rec ta T, ta nge nte , vi e ne d ad o por la d eriv ad a de la func ió n f ´(x) .
En l a grá fi ca , obs erve mos, que si ∆x → 0 , x + ∆x → x , por lo que el punto Q → P , e n e s tec as o pode mos de cir que l as r ec ta s S y T so n p aral ela s, por l o ta nto l as pe ndie nte s s o n
s e mej a nte s.
f ( x + ∆x) − f ( x)
⇒ f ´(x)∆x ≈ f ( x + ∆x) − f ( x) ⇒ f ´(x)∆x + f ( x) ≈ f ( x + ∆x)
mT ≈ m S ⇒ f ´(x) ≈
∆x
FO RMULA DE APRO XIMACIÓ N
⇒ f ( x + ∆x) ≈ f ( x) + f ´(x)∆x
EJ EMPLOS:
1. Se a y = x 2- 3 , hall ar: a) ∆y
b) dy
c) ∆y − dy
Sol uci ón: se a y= f( x) = x 2 – 33

a ) De ( 4) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y = ( x + ∆x) 2 − 3 − ( x 2 − 3)

∆y =x 2 +2 x ∆x + ∆x 2 − 3 − x 2 + 3 ; c a nc ela ndo te ne mos:
∆y = 2x ∆x + ∆x 2
b ) por la ec ua ción ( 1)

dy = f `( x)∆x ; f `( x) = 2 x
dy = 2x ∆x

c ) ∆y − dy = 2 x∆x + ∆x 2 − 2 x∆ x
∆y − dy = ∆x 2
2 . Sea n y =
a ) ∆y =

∆y =

1
;
x3

x =2; ∆x = 0.1 , hall ar: a) ∆y ;

1

−

b) d y;

1
x3

( x + ∆x)3
x3 − x3 − 3 x2∆x − 3 x∆x 2 − ∆x3

− 3 x 2∆x − 3 x∆x 2 − ∆x3 − ∆x(3 x 2 + 3 x∆x + ∆x 2 )
=
=
x3 ( x + ∆x)3
x3 ( x + ∆x)3

x3 ( x + ∆x)3
Sus ti tuye ndo x=2 y ∆x = 0.1 te ne mos:
− 0.1(12 + 6(0.1) + (0.1) 2 ) − 0.1(12.61)
=
=- 0. 01 7
∆y =
74.088
8(2 + 0.1)3
−3
b ) y = x −3 ⇒ y` = −3 x − 4 ⇒ y` =
x4
dy = f `( x)∆x
(−3)(0.1) − 0.3
−3
= −0.018
∆x =
=
4
4
16
x
2
c ) ∆y − dy = −0.017 − (−0.018) = 0.001

dy =

Pro pieda de s de los dife re nc ia le s
Sea n c una c ons ta nte y se a n u y v funci o nes
1 - d ( c) =0
2 - d ( u) = c d ( u)
3 - d ( u ± v ) = d (u ) ± d (v)
4- d (u v) = v d (u ) + u d (v)

 u  v d (u ) − u d (v)
5- d  =
v2
v
6- d u n = n u n −1 du
EJ EMPLOS:
x 2
3. Sea y = − , hallar dy
3 x
Sol ución: Por la Ec. ( 3) te ne mos: dy = f ` ( x) dx
Hall e mos y´= f ` ( x)

( ) ( )

c ) ∆y − dy4

1  2  1 2
y´= −  − 2  = + 2
3  x  3 x
 x2 + 6 
1 2 
Entonc es dy = y´dx =  + 2 dx ⇒ dy = 
dx
2 
3 x 
 3x 
4. Se a y = Sen(2 x + 3) , hall ar dy
Sol uci ó n: Por l a Ec . (3) te ne mos: dy = f ` ( x) dx
Hall e mos y´= f ` ( x)
y´= Cos (2 x + 3).2 = 2.Cos (2 x + 3)
Entonc es dy = y´dx = 2.Cos (2 x + 3)dx

5. Se a y =

Cos t

, hall ar dy
t
Sol uci ó n: Por l a Ec . (3) te...