Diferenciaon y trigonometria

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IMPLÍCITA PROBLEMAS DE DIFERENCIACIÓN

Los problemas siguientes requieren el uso de la derivación implícita. diferenciación implícita no es más que un caso especial de la conocida cadena de reglas y de los derivados. La mayoría de los problemas de diferenciación en el cálculo de primer año implican funciones y escrita explícitamente como funciones de x . Por ejemplo, si
 ,
entonces laderivada de y es
 .
Sin embargo, algunas funciones y se escriben implícitamente en función de x . Un ejemplo conocido de esto es la ecuación
x2 + y2 = 25,
lo que representa un círculo de radio de cinco centrado en el origen. Supongamos que deseamos encontrar la pendiente de la línea tangente a la gráfica de esta ecuación en el punto (3, -4).

¿Cómo podemos encontrar la derivada de y en estecaso? Una forma es escribir primero y de forma explícita como una función de x . Por lo tanto,
x2 + y2 = 25,
y2 = 25 - x2 ,
y
 ,
donde la raíz cuadrada positiva representa la parte superior del semicírculo y la raíz cuadrada negativa representa la parte inferior del semicírculo. Desde el punto (3, -4) se encuentra en la parte inferior del semicírculo dado por
 ,
la derivada de y es
 ,
es decir, .
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (3, -4) es
 .
Desafortunadamente, no todos los ecuación que x y y pueden ser resueltas explícitamente para y . En aras de la ilustración que se encuentra la derivada de y SIN escrito y de forma explícita como una función de x .Recordemos que la derivada (D) de una función de x al cuadrado, (f(x))2 , se puede encontrarutilizando la regla de la cadena:
 .
Desde y simbólicamente representa una función de x, la derivada de y2 se pueden encontrar en la misma forma:
 .
Ahora empiezan con
x2 + y2 = 25.
Diferenciar ambos lados de la ecuación, obteniendo
D ( x2 + y2 ) = D (25),
D ( x2 ) + D ( y2 ) = D (25),
y
2x + 2 yy'= 0,
de manera que
2 yy'= - 2x ,
y
 ,
es decir,
 .
Por lo tanto, la pendiente de larecta tangente a la curva en el punto (3, -4) es
 .
Este segundo método se ilustra el proceso de derivación implícita. Es importante señalar que la expresión derivada de la diferenciación explícita implica x solamente, mientras que la expresión derivada de la diferenciación implícita puede implicar x Y y .
Los siguientes problemas varían en dificultad de medio a un reto. 

 2 y'+ 3x2 + 4x ,
demodo que (ahora resolver y'.)
1 - y - 3x2 - 4x = 3 y2 y"+ xy'+ 2 y,
(Factor de fuera y'.)
1 - y - 3x2 - 4x = (3y2 + x + 2) y,
y
 .
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SOLUCIÓN 9 : Comience con  . Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación x3 y3 , consiguiendo
 ,
 ,
y4 + x4 = x5 y7 .
Ahora diferenciar ambos lados de la ecuación, obteniendoD ( y4 + x4 ) = D ( x5 y7 ),
D ( y4 ) + D ( x4 ) = x5 D (y7 ) + D ( x5 ) y7 ,
(Recuerde que debe utilizar la regla de la cadena en D (y4 ) y D (y7 ).)
4 y3 y'+ 4 x3 = x5 (7 y6 y') + (5 x4 ) y7 ,
de modo que (ahora resolver y'.)
4 y3 y'- 7 x5 y6 y'= 5 x4 y7 - 4 x3 ,
(Factor de fuera y'.)
y"[4 y3 - 7 x5 y6 ] = 5 x4 y7 - 4 x3 ,
y
 .
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SOLUCIÓN10 : Comience con (x2+y2)3 = 8x2y2 . Ahora diferenciar ambos lados de la ecuación, obteniendo
D (x2+y2)3 = D (8x2y2 ),
3 (x2+y2)2 D (x2+y2) = 8x2 D (y2 ) + D (8x2 ) y2 ,
(Recuerde que debe utilizar la regla de la cadena en D (y2 ).)
3 (x2+y2)2 (2x + 2 yy') = 8x2 (2 yy') + (16 x ) y2 ,
de modo que (ahora resolver y'.)
6x (x2+y2)2 + 6 y (x2+y2)2 y'= 16 x2 yy'+ 16 xy2 ,
6 y (x2+y2)2 y- 16 x2 y y'=16 XY2 - 6x (x2+y2)2 ,
(Factor de fuera y'.)
y"[6 y (x2+y2)2 - 16 x2 y ] = 16 xy2 - 6x (x2+y2)2 ,
y
 .
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (-1, 1) es
 ,
y la ecuación de la recta tangente es
y - (1) = (1) ( x - (-1))
o
y = x + 2.
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SOLUCIÓN 11 : Comience con x2 + (y-x)3 = 9. Si x= 1, entonces...
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