Dinamica coordenadas esfericas

CONTENIDO

1. COORDENADAS ESFÉRICAS 3
1.1. SUPERFICIES COORDENADAS 3
1.2. LÍNEA COORDENADA 3
1.3. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN COORDENADAS ESFÉRICAS 4
1.3.1. FACTOR ESCALA 5
1.3.2. VECTOR UNITARIO TANGENTE 5
1.3.3. FACTOR ESCALA 5
1.3.4. VECTOR UNITARIO TANGENTE 5
1.3.5. FACTOR ESCALA 6
1.3.6. VECTOR UNITARIO TANGENTE 6
1.3.7. COMPONENTES DE LA VELOCIDAD 61.3.8. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN 7
2. MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS 9
3. MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON RESPECTO A UN SISTEMA COORDENADO MÓVIL 10
3.1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 11
4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 13
5. BIBLIOGRAFÍA 17

1. COORDENADAS ESFÉRICAS

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza paradeterminar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar θ y el azimut φ.

2.1. SUPERFICIES COORDENADAS

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
*Superficies r=cte.: Esferas, con centro en el origen de coordenadas.
* Superficies θ=cte.: Conos, rectos con vértice en el origen.
* Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

2.2. LÍNEA COORDENADA

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:
* Líneascoordenadas r: Semirrectas radiales, partiendo del origen de coordenadas.
* Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
* Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

2.3. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN COORDENADAS ESFÉRICAS

En la figura se muestra un sistema de coordenadas esféricas representadas por r, θ y Ø, siendo los vectores coordenadosunitarios: eθ, e∅ y er.
El vector er es radial y positivo del origen hacia fuera, eθ es tangencial al círculo meridiano y e∅ es tangente al círculo de latitud.

De la figura se obtienen las componentes vectoriales de “r”:

x=r sinθ cos∅

y=r sinθ sin∅

z=r cosθ

Donde el punto p sería igual a la suma de las componentes vectoriales de “r” de tal manera que:

p=r sinθ cos∅i+rsinθ sin∅j+r cosθk

Encontrando valores de los vectores unitarios usando la siguiente fórmula:

er=dpdrdpdr

Donde derivando (p) con respecto a “r” encontramos er y a la vez encontramos el módulo de dicha derivada y obtenemos:

dpdr=sinθ cos∅i+sinθ sin∅j+cosθk

2.4.1. FACTOR ESCALA

* dpdr=(sinθcos∅)2+(sinθsin∅)2+(cosθ)2

* dpdr=sin2θcos2∅+sin2∅+cos2θ

*dpdr=sin2θ+cos2θ

* dpdr=1

2.4.2. VECTOR UNITARIO TANGENTE

* er=sinθcosØi+sinθsin∅j+cosθk


Encontrando el Valor para el vector unitario eθ con el procedimiento utilizado para er

dpdθ=rcosθcos∅i+rcosθsin∅j-rsinθk

2.4.3. FACTOR ESCALA

* dpdθ=(rcosθcos∅)2+(rcosθsin∅)2+(rsinθ)2

* dpdθ=r2cos2θcos2∅+sin2∅+r2sin2θ

* dpdθ=r2(cos2θ+sin2θ)* dp dθ=r2

* dpdθ=r

2.4.4. VECTOR UNITARIO TANGENTE

* eθ=rcosθcos∅i+rcosθsin∅j-rsinθkr

* eθ=r(cosθcos∅i+cosθsin∅j-sinθk)r

* eθ=cosθcos∅i+cosθsin∅j-sinθk
Encontrando el valor para el vector unitario e∅ usando el mismo procedimiento usado para los anteriores.

dpd∅=-rsinθsin∅i+rsinθcos∅j

2.4.5. FACTOR ESCALA

*dpd∅=(rsinθsin∅)2+(rsinθcos∅)2

* dpd∅=r2sin2θ(sin2∅+cos2∅)

* dpd∅=r2sin2θ

* dpd∅=rsinθ

2.4.6. VECTOR UNITARIO TANGENTE

* e∅=-rsinθsin∅i+rsinθcos∅jrsinθ

* e∅=rsinθ(-sin∅i+cos∅j)rsinθ

* e∅=-sin∅i+cos∅j
Proyectando el vector “r” en el plano “XY” obtenemos la fórmula de la posición siendo representado por r :

r=rsinθcos∅i+rsinθsin∅j+rcosθk

donde se...