Dinamica de particula ejemplo

Mecánica
Apellidos EXAMEN PARCIAL (30 de noviembre del 2009) Nombre N.o Grupo

Ejercicio 2.o (puntuación: 10/30) Un disco de radio r rueda sin deslizar dentro de una circunferencia vertical fija deradio R, siendo la velocidad del centro O del disco constante y de valor ω(R − r). En el disco existe una acanaladura lisa en dirección radial en la que se encuentra ensartada una partícula de masa munida mediante un muelle de constante k y longitud natural nula al centro del disco O. Se pide: 1. Calcular la ecuación diferencial del movimiento de la partícula discutiendo la existencia o no deintegrales primeras del movimiento. 2. Calcular la reacción ejercida por el disco sobre la partícula. • 1.— De acuerdo con la velocidad del punto O, el radio vector que fija la posición de dicho puntogira con velocidad ω. Sea un sistema de referencia {O, i1 , j 1 } que acompaña el movimiento del disco de manera que i1 tiene la dirección de la acanaladura, siendo ϕ el ángulo girado por el disco (verfigura). La condición de rodadura sin deslizamiento implica que el punto de contacto entre el aro y el disco tenga velocidad nula por lo que se verifica: R−r ω r obteniéndose la velocidad angular derotación del sistema móvil vO = ω(R − r) = ϕr =⇒ ϕ = ˙ ˙ Ω = −ϕk ˙

Tiempo: 60 min.

R

m
r O k

Expresado a través del sistema móvil descrito, la aceleración de la partícula resulta: arel = xi1 ¨aarr = aO + Ω ∧ (Ω ∧ xi1 ) = −ω 2 (R − r)uρ − ϕ2 xi1 ˙ acor = 2Ω ∧ xi1 = −2ϕxj 1 ˙ ˙˙ siendo uρ = sen(ϕ + ωt)i1 − cos(ϕ + ωt)j 1 . Las fuerzas actuantes: la atractiva ejercida por el muelle F a , elpeso P y la reacción R se expresan en el sistema móvil del siguiente modo: F a = −kxi1 P = mg(sen ϕi1 − cos ϕj 1 ) R = N j1 La ecuación diferencial del movimiento resulta: (F a + P + R) · i1 = m(a ·i1 )
961-09exam.tex

m¨ − mω 2 (R − r) sen(ϕ + ωt) − mϕ2 x + kx − mg sen ϕ = 0 x ˙

(1)

R−r ωt. siendo ϕ = r En este caso no se conserva la energía al estar el disco sujeto a un movimiento...