Dinamica de un cuerpo rigido

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UNIDAD VIII
DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO
8.1 MOMENTUM ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO

Un cuerpo rígido, como ya sabemos, es un sistema de partículas en el cual las distancias entre las partículas permanecen constantes. Puede considerarse también como un cuerpo continuo en el que las distancias entre puntos son invariables. Dicho cuerpo continuo puede verse como el límite de una sucesión desistemas de partículas. Para presentar el momentum angular y la energía cinética de un cuerpo rígido que rota respecto a un eje fijo, lo consideraremos como un sistema de partículas y más adelante veremos como se calculan esas cantidades cuando se trata de un cuerpo continuo.
(Figura 8.1.1)
Consideremos un cuerpo rígido que rotarespecto a un eje fijo en un determinado marco de referencia. Sea z (figura 8.1.1) dicho eje. Calculemos el momentum angular, respecto a un punto O del eje, del cuerpo rígido que rota con velocidad angular ω. La partícula mi que se encuentra a una distancia Ri del eje, describe un círculo con centro en el eje y radio Ri . Como ya vimos, el momentum angular de esa partícula respecto al punto O, i L r ,forma un cierto ángulo con el eje z. Su componente sobre dicho eje es

(8.1.1)

La componente sobre el eje z del momentum angular del sistema, es decir del cuerpo rígido, Será
(8.1.2)

La cantidad Σmi Ri 2 juega un papel esencial en el estudio de la rotación,análogo al que
desempeña la masa inercial en el movimiento de traslación, y se llama el momento de inercia respecto a un eje, en este caso respecto al eje z, escrito Ιz .
(8.1.3)
La componente del momentum angular del cuerpo respecto al eje de rotación se escribe
Entonces(8.1.4)
Como en general el momentum angular L i de la partícula de masa mi , respecto a O, no está en dirección del eje de rotación, al sumar para todas las partículas podemos afirmar que, en el caso general, el momentum angular L de un cuerpo rígido respecto a un punto del eje de rotación no tiene la misma dirección del vector velocidad angular ω. Hay, sin embargo, ejes particulares de rotación,llamados ejes principales de inercia, respecto a los cuales el momentum angular L tiene la misma dirección de ω.

(Figura 8.1.2)

En efecto, veamos por ejemplo el caso de un cuerpo que rota alrededor de un eje de simetría (figura 8.1.2).
A cada partícula i, de masa mi , situada a una distancia Ri del eje, le corresponde unapartícula j, diametralmente opuesta y tal que mi = mj , Ri = R j .
Al ser las partículas diametralmente opuestas, L i y L j están en el mismo plano y forman el mismo ángulo con el eje z, de modo que sus componentes perpendiculares al eje se cancelan y las componentes sobre el eje z se suman. Como esto sucede para todas las parejas de partículas, el momentum angular total respecto a cualquier puntodel eje tiene la dirección del eje z, es decir de ω, y así:

(8.1.5)
Donde Ι z es el momento de inercia respecto al eje de rotación. Si el cuerpo es una placa o
lámina plana que rota respecto a un eje cualquiera perpendicular a la placa por un punto O (figura 8.1.3), el momentum angular respecto a O estátambién en una dirección de ω, es decir dicho eje es, en el punto O, un eje principal de inercia.

(Figura 8.1.3)
En efecto, como ya vimos, el momentum angular L i de una partícula en movimiento circular respecto al centro del círculo, que en este caso es el punto O, está en dirección de ω y esto es válido para todas las partículas de la...
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