Dinamica

Coordenadas esféricas
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El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar ocolatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza unautor determinado.
Contenido [ocultar]  * 1 Convenciones utilizadas * 1.1 Convención estadounidense * 1.2 Convención no-estadounidense * 2 Relación con otros sistemas de coordenadas * 2.1 Relación con las coordenadas cartesianas * 2.2 Relación con las coordenadas cilíndricas * 3 Líneas y superficies coordenadas * 4 Base coordenada * 5 Diferenciales de línea,superficie y volumen * 5.1 Diferencial de línea * 5.2 Diferenciales de superficie * 5.3 Diferencial de volumen * 6 Operadores diferenciales en coordenadas esféricas * 7 Véase también |
[editar] Convenciones utilizadas
[editar] Convención estadounidense
Actualmente, el convenio usado en los EEUU es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa φ y para referirse alpolar, latitud o colatitud se usa θ.
[editar] Convención no-estadounidense

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:
* θ la colatitud, de 0º a 180º
* φ el azimuth, de 0º a 360º
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las trescoordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.
[editar] Relación con otros sistemas de coordenadas
[editar] Relación con las coordenadas cartesianas
Sobre los conjuntos abiertos:

Existe una correspondencia unívoca entre lascoordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde , en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto tal que .
La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

Coordenadas esféricas y ejes cartesianosrelacionados.
[editar] Relación con las coordenadas cilíndricas
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

[editar] Líneas y superficies coordenadas
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijaslas otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:
* Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
* Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
* Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto.Para este sistema son:
* Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
* Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
* Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
[editar] Base coordenada
A partir del sistema...