dinamica

CALCULO INTEGRAL
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
HACIA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Vimos que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ³ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:
= cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a). Podemos definir = F(b) - F(a).
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:
Si v(t) es el volumen de agua deun depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así = v(t2) - v(t1) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2.
Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera = [c](t2) -[c](t1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2.
Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineal es r (x) = m'(x). De esta manera = m(b) - m(a) es la masa del segmento de la varilla entre x = a y x = b.
Si la tasa de crecimiento de una población es entonces = p(t2) - p(t1) es el aumento de población duranteel período desde t1 hasta t2.
Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente = c(x2) - c(x1) es el incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades.
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , entonces su velocidad es v(t) = s'(t) de modo que = s(t2) -s(t1) es el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t1 hasta t2.
Dado que la aceleración de un objeto es a(t) = v'(t), podemos asegurar que la expresión
= v(t2) - v(t1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.
La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir que P(t) = E'(t) y por lo tanto resulta =E(t2) - E(t1) indica la energía utilizada en el tiempo entre t1 y t2.
La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO FUNCIÓN
APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO
Analice los problemas planteados y reflexione sobre susresultados ...
 Ahora sí podemos avanzar ....
Sea f una función continua en un intervalo [a, b]. Definimos una nueva función g dada por g(x) = donde a £ x £ b. Se observa que g sólo depende de x, variable que aparece como límite superior en el cálculo de la integral.
Si x es un número fijo, entonces la integral es un número definido. Si hacemos que x varíe, el número también varía y define una funciónque depende de x.
La integral como función
La integral como número


Analicemos una función continua f(x) siendo f(x) ³ 0.
Podemos decir que g(x) = se puede interpretar como el área debajo de la gráfica de f desde a hasta x, donde x puede variar desde a hasta b (se debe pensar en g como la función "el área hasta").
APRENDIZAJE P0R DESCUBRIMIENTO
Analice los problemas planteados yreflexione sobre sus resultados ...
El TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Primera Parte
Si f es una función continua en [a, b] entonces la función donde a £ x £ b es derivable y verifica A' (x) = f(x) para todo x del intervalo.

APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO
Analice los problemas planteados y reflexione sobre sus resultados ...
Ahora estamos en mejores condiciones para comprender la demostración...