Dios

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Spanish
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Martes, 10 de julio de 2012

Dado un triángulo ABC , el punto J es el centro del excírculo opuesto al vértice A. Este excírculo es tangente al lado BC en M , y alas rectas AB y AC en K y L, respectivamente. Las rectas LM y BJ se cortan en F , y las rectas KM y CJ se cortan en G. Sea S el punto de intersección de las rectas AF y BC , y sea T el punto deintersección de las rectas AG y BC . Demostrar que M es el punto medio de ST .
Problema 1.

(El excírculo de ABC opuesto al vértice A es la circunferencia que es tangente al segmento BC , a laprolongación del lado AB más allá de B , y a la prolongación del lado AC más allá de C .)
Problema 2.

Sea n ≥ 3 un entero, y sean a2 , a3 , . . . , an números reales positivos tales que a2 a3 · · · an = 1.Demostrar que
(1 + a2 )2 (1 + a3 )3 · · · (1 + an )n > nn .

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores A y B . Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos ky n conocidos por ambos jugadores. Al principio del juego, el jugador A elige enteros x y N con 1 ≤ x ≤ N . El jugador A mantiene x en secreto, y le dice a B el verdadero valor de N . A continuación,el jugador B intenta obtener información acerca de x formulando preguntas a A de la siguiente manera: en cada pregunta, B especica un conjunto arbitrario S de enteros positivos (que puede ser uno delos especicados en alguna pregunta anterior), y pregunta a A si x pertenece a S . El jugador B puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador A deberesponderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera k + 1 respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera. Cuando Bhaya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especicar un conjunto X de a lo más n enteros positivos. Si x pertenece a X entonces gana B ; en caso contrario, pierde. Demostrar que:...
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