Diseño, operación y control del cubilote

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Cap´ ıtulo 9

L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.1. Introducci´n o

El concepto de l´ ımite en Matem´ticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´n a o en un determinado punto o en el infinito. o a e Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´n dada por la gr´fica de la figura y fij´monos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´ ocurre cuando nos acercamosal punto 2 movi´ndonos sobre el eje x? Tomemos algunos e e valores como 2’1, 2’01, 2’001. Vemos en la figura que en este caso las im´genes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), a f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´genes f(1’9), f(1’99),f(1’999) se acercan tambi´n al mismo valor, y = 3. a e Concluimos que el l´ ımite de la funci´n f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´l expresamos o a como: l´ f (x) = 3 ım
x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ ımite de una funci´n en un punto es el valor en el o eje Oy al que se acerca la funci´n, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto. o 145

CAP´ ITULO9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Sin embargo la expresi´n matem´tica rigurosa de l´ o a ımite es algo m´s compleja: a

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Definici´n: Dada una funci´n f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ o o ımite de f (x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como: l´ f (x) = L ım
x→a

cuando: Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <

Lo que vienea expresar esta formulaci´n matem´tica es que si x est´ “suficientemente cerca” de o a a a, entonces su imagen f(x) tambi´n est´ muy pr´xima a L. e a o

En la pr´ctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ a ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma: Definici´n: o Se define el l´mite lateral por la derecha de a de la funci´n f (x), y se expresacomo: ı o
x→a+

l´ f (x) ım

al l´ ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el l´mite lateral por la izquierda de a de la funci´n f (x) se expresa como: ı o
x→a−

l´ f (x) ım

y se define como el l´ ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a. Propiedad: Para que una funci´n f (x) tenga l´ o ımite enx = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ ımites laterales y coincidan, es decir:
x→a

ım ım l´ f (x) = l´ f (x) = l´ f (x) ım
x→a+ x→a−

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9.2.

Tipos de l´ ımites

Recordaremos algunos tipos de l´ ımites que son conocidos: 1. L´mites infinitos en un punto finito: En la situaci´n del dibujo, se dice que el l´ ı o ımitecuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´s a medida que la x se acerca a a, la funci´n se hace e o cada vez mayor: l´ f (x) = +∞ ım
x→a+

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo). De igual modo se define el l´ ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)

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Puede ocurrir que uno de los l´ ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´n o entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:
x→2+

l´ f (x) = +∞ ım l´ f (x) = 2 ım

y
x→2−

2. L´mites finitos en el infinito: Se dice que una funci´n tiene l´ ı o ımite b cuando x tiende a +∞ cuando la funci´n se acerca a b cuando la x sehace cada vez mayor, es decir: o
x→∞

ım l´ f (x) = b

Gr´ficamente: a

En este caso el l´ ımite es 2 cuando x tiende a +∞. De igual modo se define el l´ ımite finito cuando x tiende a −∞.

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3. L´mites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´n se hace ı o cada vez mayor o menor (lo mismo si x...
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