Distribución binomial

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Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
* En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario(fracaso).* El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba aotra. La probabilidad de no exito   es  1- p  y la representamos por  q .
* El experimento consta de un número  n  de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos quesigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable  X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial esuna variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).

Una prueba consta de 200 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar ¿Cuálsería la probabilidad de que acertase:

a) 50 preguntas o menos.
b) Más de 50 y menos de 100.
c) Más de 120 preguntas.

SOLUCIÓN:

El número de preguntas acertadas seguirá una distribuciónBinomial con n = 200 y p= 0,5.
Ahora bien, como el número de pruebas es elevado esta distribución se puede aproximar por una
Normal de media 200·0,5 = 100 y de varianza 200·0,5·0,5 = 50 o lo que es lomismo con desviación típica 7,07, luego:

a) P(x ≤ 50) ≈ P(x ≤ 50.5)=P (Z ≤ 50.5-1007.07)= P(Z≤-7) )≈0

b) P(50 < X < 100) = P(X ≤ 99)- P(X ≤ 51) = P(Z ≤ 99.5-1007.07 )-P(Z ≤50.5-1007.07)=P(Z ≤ −0,07) − P(Z ≤ −7) = 0,4721− 0 = 0,4721

c) P(x>120) = P(Z>120.5-1007.07 )= 1-P(Z ≤ 2.9)=1-0.9981=0.0019

Ejemplo 2

En una jaula con 20 pericos 15 de ellos hablan ruso, si...
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