Distribucion De Weibull

weLa distribución weibull
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.
La función de densidad de unavariable aleatoria con la distribución de Weibull x es:

Donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:
* Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
* Cuando k=1, la tasa de fallos esconstante en el tiempo.
* Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Propiedades de la distribución weibull:
Su función de distribución de probabilidad es:

Para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.
La tasa de fallos (hazard) es

La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es

Donde Γ es la función gamma. Análogamente, la funcióncaracterística del logaritmo es

En particular, el momento n-ésimo de X es:

Su media y varianza son

y

Mientras que su asimetría y curtosis son

y

Donde Γi = Γ(1 + i / k).
Distribuciones relacionadas:
La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura. Tiene función de densidad

Para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x <θ, donde k > 0 es el parámetro de forma, λ > 0 es el parámetro de escala y θ, el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.
La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

Sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1. De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.

La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad seanula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.
La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si Xes uniforme sobre (0,1), entonces sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.
Aplicaciones de la distribución de weibull:
Esta distribución la podemos observar en:
* Análisis de la supervivencia.
* Reliability engineering.
* En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con eltiempo de fabricación y distribución de bienes.
* Teoría de valores extremos.
* Meteorología.
* Para modelar la distribución de la velocidad del viento.
* En telecomunicaciones.
* En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida.
* En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas.
Algunos problemas de la ingeniería resueltos con la aplicación de ladistribución weibull:

* Falla de un componente durante tres meses, ¿Cuántas fallas se puede esperar en seis, doce meses?
* Programar el mantenimiento y ordenar repuestos
* En una Planta eléctrica con muchas salidas por fallas en la tubería de la caldera, basada en inspección, pronosticar su ciclo de vida y overhaul
* Los costos de fallas esporádicas, sujetas a desgastarse y...