Distribucion geometrica

Distribución Geométrica

La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribucióngeométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés, denotadamediante X, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valoresque puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y elx-ésimo ensayo es éxito (p), por lo que:

P(X = x) =

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que:

Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilísticogeométrico, si su función de probabilidades es:




Ejemplo 5. 11. Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3?

Solución.

Eneste problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de queel 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:

P(X = 3) = ()3-1 () = ()2 () = 0.1157

Ejemplo 5. 12. La probabilidad de que cierto análisis clínico dé una reacción positiva es 0.4. Losresultados de los análisis son independientes unos de otros ¿Cuál es la probabilidad de que la primera reacción positiva ocurra antes del tercer análisis?


Solución.

Aquí el éxito es que salga unareacción positiva, por lo que p = 0.4 y q = 0.6. Si la primera reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces:

P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = (0.6) 1-1 (0.4) +...