Distribucion weibull

Distribución Weibull
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua que complementa a la distribución exponencial y a la normal, se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. Es decirque, modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:
* Un valor k1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir ladistribución de los tamaños de determinadas partículas.
La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso.
Características generales
Sabemos que la tasa defallos se puede escribir, en función de la fiabilidad, de la
Siguiente forma:
ó R (t) = exp [ - ò l (t) d t ]
Siendo:
l (t) - Tasa de fallos
R (t) - Fiabilidad
F (t) - Infiabilidad o Función acumulativa de fallos
t - Tiempo

En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple que podía representar una gran variedad de datos reales podía obtenerse escribiendo:Por lo que la fiabilidad será:

Siendo :
t0 - parámetro inicial de localización
h - parámetro de escala o vida característica
ß - parámetro de forma

Se ha podido demostrar que gran cantidad de representaciones de fiabilidades reales pueden ser obtenidas a través de ésta ecuación, que como se mostrará, es de muy fácil aplicación.
La distribución de Weibull se representanormalmente por la función acumulativa de distribución de fallos F (t):

Siendo la función densidad de probabilidad:


La tasa de fallos para esta distribución es:


Las ecuaciones (1), (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t - t0) ≥ 0. Para valores de (t - t0) < 0, las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. Las constantes que aparecen en las expresiones anteriorestienen una interpretación física:
• t0 es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución.
• η es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los tiempos. Cuando (t - t0) = η la fiabilidad viene dada por:
R (t) = exp - (1)ß = 1/exp 1ß = 1 / 2,718 = 0,368 (36,8%)
Entonces la constante representatambién el tiempo, medido a partir de t0 = 0, según lo cual dado que F (t) = 1 - 0,368 = 0,632, el 63,2 % de la población se espera que falle, cualquiera que sea el valor de ß ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. Por esta razón también se le llama usualmente vida característica.
• ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo elgrado de variación de la tasa de fallos.


Las variaciones de la densidad de probabilidad, tasa de fallos y función acumulativa de fallos en función del tiempo para los distintos valores de ß, están representados gráficamente en la Figura a continuación:



Variación de la densidad de probabilidad f (t), tasa de fallos  (t) y la función acumulativa de fallos F(t) en función del tiempopara distintos valores del parámetro de forma ß

Representación de los modos de fallo mediante la distribución de weibull
En el estudio de la distribución se pueden dar las siguientes combinaciones de los parámetros de Weibull con mecanismos de fallo particulares:
a. t0 = 0: el mecanismo no tiene una duración de fiabilidad intrínseca, y:
• si ß < 1 la tasa de fallos disminuye con la edad sin...