distribuciones discretas

1. Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli. Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de unavariable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v. a. discreta X que toma los valores X= 0si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota 






2. Distribución binomial

A. Definición:
La distribución Binomial es posiblemente la más importante de las distribuciones discretas. Esta Distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
El experimento consta de n ensayos o pruebas idénticas;
Losdatos recopilados son el resultado de conteos;
Cada ensayo sólo puede tener un resultado de dos posibles, que se llaman “éxito” (p) y “fracaso” (q),los cuales son mutuamente excluyentes;
La probabilidad p de “éxito” es constante de ensayo a ensayo, es decir, es invariable. La probabilidad de un fracaso es (1 -p) = q
Los ensayos son estadísticamente independientes, esto es la ocurrencia de uno noafecta la ocurrencia del otro.
Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas
Para x = 0, 1, 2,….., n


En donde:
f ( x ) = Función de x de la distribución binomial
( ) = Coeficiente binomial
n = Tamaño de la muestra o número de ensayos
x = Número de éxitos observados
B. Función de la distribución binomial:
Lafunción de distribución binomial especifica el número de veces (x) que puede ocurrir un evento en un número independiente de tiradas n y donde p es la probabilidad de la ocurrencia del evento en una simple tirada. Es una distribución de probabilidad exacta para cualquier número de intentos. Si n es muy grande se puede tratar como una función continua. Esto es lo que hace la distribución gausiana. Sila probabilidad p es pequeña de modo que la función solo tenga valores significativos para valores pequeños de x, entonces la función se puede aproximar por medio de la distribución de Poisson.

Función de distribución acumulativa de la distribución binomial
Los parámetros de la distribución binomial son: n el número de repeticiones del experimento, x el número de éxitos que debe haber en lasn ejecuciones del experimento y p la probabilidad de éxito en cada repetición. Si la variable aleatoria X tiene una distribución binomial, escribiremos B(n, x, p) para representar la función de distribución acumulada. En el anexo de tablas se presentan las probabilidades acumuladas de cualquier miembro de la familia binomial para diferentes valores de n y p, hasta un valor x de la variablealeatoria.
La función de distribución acumulada está definida por:




Valor esperado y varianza de la distribución binomial:
El valor esperado de una variable aleatoria binomial siempre es igual al número de ensayos del experimento multiplicado por la probabilidad de éxito en cualquier ensayo, es decir:
μ = n p
La varianza de una variable aleatoria binomial es siempre igual al número de ensayosdel experimento Multiplicado por la probabilidad de éxito en cualquier ensayo, multiplicado a su vez por la probabilidad de Fracaso en cualquier ensayo, es decir
= n. p. q

3. Distribución de poisson:

Definición:
Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que...