Distribuciones estadistica ejemplos

Terma 3. Distribuciones. 9

Problemas resueltos del Tema 3. 3.1- Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso ¿Cual es la probabilidad de que acierte 4? ¿Cual es la probabilidad de que acierte dos o menos? ¿Cual es la probabilidad de que acierte cinco o más? ¿Cuanto valen la media y la varianza del número de preguntas acertadas? Solución. La distribución delnúmero de aciertos será una distribución Binomial de parámetros n = 8 y p = 1/2, en consecuencia:  8 70 Pr(ξ = 4 ) =   ⋅ 0,54 ⋅ 0,5 4 = = 0,273 256  4 Para resolver los dos apartados siguientes calculamos previamente  8 1 Pr(ξ = 0) =   ⋅ 0,50 ⋅ 0,58 = = 0,004 256  0  8 8 Pr( ξ = 1) =   ⋅ 0,51 ⋅ 0,57 = = 0,031 256  1  8 28 Pr(ξ = 2 ) =   ⋅ 0,52 ⋅ 0,5 6 = = 0,109 256  2  856 Pr( ξ = 3) =   ⋅ 0,53 ⋅ 0,55 = = 0,219 256  3 en consecuencia Pr( ξ ≤ 2) = Pr (ξ = 0) + Pr (ξ = 1) + Pr (ξ = 2) = 0,004 + 0,031 + 0,109 = 0,144 Pr(ξ ≥ 5) = 1 − Pr (ξ ≤ 4) = 1 − (0,004 + 0,031 + 0,109 + 0,219 + 0,273) = 0,364 La media y la varianza se obtienen aplicando la expresión obtenida de forma general para la media y la varianza de una distribución Binomial: E[ξ] = n · p = 8 · 0,5 =4 y Var[ξ] = n · p · q = 8 · 0,5 · 0,5 = 2

3.2- En una población en la que hay un 40% de hombres y un 60% de mujeres seleccionamos 4 individuos ¿Cual es la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres? ¿Cual es la probabilidad de que haya más mujeres que hombres?

10 Problemas de Análisis de Datos. José M. Salinas

Solución. El número de hombres en la muestra sigue una distribuciónBinomial de parámetros n = 4 y p = 0,4. Entonces para calcular la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres en la muestra, basta calcular la probabilidad de que haya dos hombres en la misma.  4 Pr( ξ = 2) =   ⋅ 0,4 2 ⋅ 0,62 = 6 ⋅ 0,16 ⋅ 0,36 = 0,3456  2 Para que haya más mujeres que hombres en la muestra, el número de estos tiene que ser menor que 2, luego la probabilidad será:  4  4 Pr(ξ < 2) = Pr (ξ = 0) + Pr (ξ = 1) =   ⋅ 0,4 0 ⋅ 0,6 4 +   ⋅ 0,4 1 ⋅ 0,6 3 = 0,4752  0  1 3.3- Sabiendo que la variable Z sigue una distribución Normal cero, uno, calcule las siguientes Probabilidades: P(Z ≤ 0,93) P(Z ≤ 1,68) P(Z ≤ -2,27) P(Z ≤ -0,27) P(Z > 0,62) P(Z > 2,05) P(Z > -1,07) P(Z > -3,39) P(0,56 < Z ≤ 2,80) P(-2,81 < Z ≤ -0,33) P(-0,85 < Z ≤ 0,72) Solución. Los ejercicios de laprimera fila se resuelven buscando directamente en las tablas de la distribución Normal, donde se obtienen los siguientes valores: P(Z ≤ 0,93) = 0,8238 P(Z ≤ -0,27) = 0,3936 P(Z ≤ 1,68) = 0,9535 P(Z ≤ -2,27) = 0,0116

Para resolver los ejercicios de la segunda fila se recurre a calcular la probabilidad del suceso contrario: P(Z > 0,62) = 1 - P(Z ≤ 0,62) = 1 - 0,7324 = 0,2676 y de forma análogase obtiene: P(Z > 2,05) = 0,0202 P(Z > -1,07) = 0,8577 P(Z > -3,39) = 0,9996

En la tercera fila se pide calcular la probabilidad de una serie de intervalos, para ello debe recordarse que la probabilidad de un intervalo es igual al valor de la Función de Distribución para el extremo superior menos el valor de la Función de Distribución para el extremo inferior, es decir: P(0,56 < Z ≤ 2,80) = P(Z≤ 2,80) - P(Z ≤ 0,56) = 0,9974 - 0,7123 = 0,2851

Terma 3. Distribuciones. 11

y para los otros dos intervalos sería: P(-2,81 < Z ≤ -0,33) = 0,3707 - 0,0025 = 0,3682 P(-0,85 < Z ≤ 0,72) = 0,5665

3.4- Siendo Z una N(0,1), calcule los valores de la variable que verifican las siguientes condiciones: P(Z ≤ z) = 0,70 P(Z ≤ z) = 0,90 P(Z ≤ z) = 0,35 P(Z ≤ z) = 0,05 P(Z > z) = 0,25 P(Z > z) = 0,05P(Z > z) = 0,85 P(Z > z) = 0,69 P(-z < Z ≤ z) = 0,90 P(-z < Z ≤ z) = 0,60 Solución. Los ejercicios de la primera fila se resuelven buscando en las tablas de la Normal el valor más próximo a la probabilidad pedida y viendo a que valor de la variable corresponde: P(Z ≤ z) = 0,70 ⇒ z ≈ 0,52 P(Z ≤ z) = 0,35 ⇒ z ≈ -0,39 P(Z ≤ z) = 0,90 ⇒ z ≈ 1,28 P(Z ≤ z) = 0,05 ⇒ z ≈ -1,64

La resolución de los...