distribuciones

Probabilidad
Henry Pant´
ı
Facultad de Matem´ticas, UADY
a

1/ 100
Henry Pant´ (Facultad de Matem´ticas, UADY)
ı
a

Probabilidad

1 / 100

3. Familias param´tricas de distribuciones univariadas
e
Objetivo de la unidad: Manejar las familias de funciones de densidad
univariadas m´s conocidas, con nombres establecidos en la disciplina.
a

2/ 100
Henry Pant´ (Facultad deMatem´ticas, UADY)
ı
a

Probabilidad

2 / 100

3.1. Distribuciones discretas: Uniforme, Bernoulli,
Binomial, Geom´trica, Binomial Negativa,
e
Hipergeom´trica y Poisson.
e
Una familia param´trica de densidades es una colecci´n de densidades (discretas o
e
o
continuas) indexadas por una cantidad (o cantidades) llamada(s) par´metro(s).
a
Ejemplo. Sea f (x) = f (x; p) = px (1 − p)1−xI{0,1} (x), 0 ≤ p ≤ 1. Entonces,
{f (·; p), 0 ≤ p ≤ 1} es una familia par´metrica de densidades discretas ya que
a
para cada p ∈ [0, 1], f (x; p) es una funci´n de densidad discreta.
o
Ejemplo. Sea f dada por
f (x) = f (x; a, b) =

1
I(a,b) (x),
b−a

a < b.

Entonces {f (·; a, b) : a < b} es una familia param´trica de densidades continuas
e
ya que para a < b, f (x; a, b) es una funci´nde densidad continua. Como se puede
o
notar en este caso tenemos dos par´metros a y b.
a
3/ 100
Henry Pant´ (Facultad de Matem´ticas, UADY)
ı
a

Probabilidad

3 / 100

El prop´sito de esta unidad es presentar familias param´tricas de densidades con
o
e
nombres est´ndar ya establecidos en la literatura.
a
Sea Θ el conjunto en donde el par´metro o par´metros de la densidad f (·;θ)
a
a
toma(n) valores. Esto es, Θ es el conjunto que indexa a las densidades f (·; θ). El
conjunto Θ pueder un subconjunto de un espacio de dimensi´n n (En el ultimo
o
´
ejemplo, Θ es un subconjunto de R2 ).
Dada una familia par´metrica {f (x; θ) : θ ∈ Θ}, una variable aleatoria X sigue
a
una distribuci´n con par´metro(s) θ (pudiendo ser θ un vector) si su funci´n de
o
a
o
densidad fXes un elemento de la familia {f (x; θ) : θ ∈ Θ}.
En esta secci´n, X es una variable aleatoria discreta con valores posibles
o
x1 , x2 , . . . y fX (x; θ) est´ dada por
a
fX (x; θ) = pX (x; θ)I{x1 ,x2 ,...} (x),
donde pX (xi ; θ) = Pθ (X = xi ), i = 1, 2, . . .. Aqu´ el sub´
ı,
ındice θ en Pθ significa
que la distribuci´n de X depende del par´metro θ.
o
a
4/ 100
Henry Pant´ (Facultadde Matem´ticas, UADY)
ı
a

Probabilidad

4 / 100

Distribuci´n uniforme discreta
o
Definici´n. Se dice que X es una variable aleatoria uniforme discreta en el
o
conjunto {1, 2, . . . , N } si su funci´n de densidad est´ dada por
o
a
fX (x) = fX (x; N ) =

1
I{1,2,...,N } (x),
N

N ∈ N.

Teorema. Si X tiene distribuci´n uniforme discreta en {1, 2, . . . , N }, entonces
o
N+1
.
(i) E(X) =
2
2
N −1
(ii) Var(X) =
.
12
N
1
tX
(iii) MX (t) = E(e ) =
eit .
N i=1
Demostraci´n. Por definici´n tenemos
o
o
N

1
1
E(X) =
i =
N
N
i=1
Henry Pant´ (Facultad de Matem´ticas, UADY)
ı
a

N

i=
i=1

1 N (N + 1)
N +1
=
.
N
2
2

Probabilidad

5/ 100
5 / 100

Ahora
N

Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 =

i2
i=1

1
−
N

N +1
2

21 N (N + 1)(2N + 1) (N + 1)2
N 2 − 1)
=
−
=
.
N
6
4
12
Finalmente, por definici´n
o
MX (t) = E(etX ) =

1
N

N

eit .
i=1

Comentario. En algunos casos, la densidad uniforme discreta se define como
f (x; N ) =

1
I{0,1,2,...,N } (x),
N +1

N entero no negativo.
6/ 100

Henry Pant´ (Facultad de Matem´ticas, UADY)
ı
a

Probabilidad

6 / 100

DistribucionesBernoulli y Binomial
Definici´n. Una variable aleatoria X es llamada Bernoulli si su funci´n de
o
o
densidad est´ dada por
a
f (x; p) = px (1 − p)1−x I{0,1} (x),

0 ≤ p ≤ 1.

(1)

Observaciones
1. Si X tiene densidad (1), entonces se dice que X tiene distribuci´n Bernoulli
o
de par´metro p.
a
2. Usualmente se escribe q = 1 − p y f (x; p) queda como
f (x; p) = px q 1−x I{0,1} (x),...