Distribución binomial

DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL
Son dos las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por JakobBernoulli (Suiza, 1654-1705), quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia. La distribución normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania,1777-1855), uno de los más famosos matemáticos de la historia. La gráfica de la distribución normal en forma de campana se denomina Campana de Gauss.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705) es la principal distribución de probabilidad discreta.
Si en una experiencia aleatoria únicamente consideramos dos posibilidades: que ocurra elsuceso A o que no ocurra ( que ocurra A’, el complementario de A ), se trata de una experiencia dicotómica. Si repetimos n veces una experiencia dicotómica y llamamos X a la variable que cuenta el número de éxitos, resulta que: X es una variable discreta que puede tomar los valores: 0,1,2,3,4,5,...........n.

Supongamos que características:
• • •

un

experimento

aleatorio

tiene

lassiguientes

•

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A’, (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Α es 1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un número n de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

Pues bien, a la distribución de probabilidad de la variable X se le llama Distribución Binomial B(n,p). La media es µ= n. p y la desviación típica es σ = n. p.q . n La probabilidad de que X tome el valor k es : P( X = k ) =  . p k .q n − k k    n n! Donde   =  k  k!.(n − k )!  
y

n! = 1.2.3.4.5.......( n − 1).n

n El número   se llama número combinatorio y representa todas las combinaciones k    posibles de n elementos tomados de k en k. Es decir: con n elementos, cuántos gruposdistintos de k elementos pueden formarse . Los números combinatorios pueden obtenerse también del triángulo de Tartaglia: 1   1     0  1      2  2  2       0 1   2        3  3  3   3         0 1   2   3          4  4  4  4  4           0 1   2 3  4           5     0  5   1   5    2    5    3   5    4    5    5   1 1 1 5 4 + 10 10 5 1 1 1 3 6 2 3 4 1 1 1 1

La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

Función de Probabilidad de la v.a. Binomial

Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (paran=1). Verificándose: 0 ≤ p ≤ 1

Parámetros de la Distribución Binomial

Función de Distribución de la v.a. Binomial

Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

1 . U n a g en t e d e s e gu ro s v en d e...