Divisibilidad 3

SISTEMA DE
NUMEROS
NÚMEROS ENTEROS
DIVISIBILIDAD
NÚMEROS PRIMOS
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1

Z  =  Conjunto de los Números Enteros
Z  =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

2

PRODUCTO EN Z


La regla que se utiliza es la misma para
multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?.
Multiplico números y luego multiplico los signos
de acuerdo a la siguiente ley de los signos :(+)  · (+)    =    +
(-)  · (-)     =    +
(+) · (-)     =    (-)  · (+)     =    3

DIVISIBILIDAD


Un número entero A es divisible entre otro
número entero positivo B, si al dividir A
entre B la división resulta exacta.
A B
A Є Ζ , BЄΖ+
0 K
KЄΖ



Se dice :

“ A es divisible entre B ”
“ B es un divisor de A ”
4

ó

MULTIPLICIDAD


Un número entero A es múltiplo de un número
entero positivo B,si A es el resultado de
multiplicar a B por un número entero K.
A = B.K

A Є Ζ , BЄΖ+
KЄΖ
Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó
“ B es un factor de A “
5

DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD
Indicar que: un número entero A es divisible
entre ó múltiplo de otro número positivo B, se
considerará equivalente, y se denotará:
o
o
A=B
ó
A = B ó A=nB, n  Z
B: Módulo
Ejemplos:
o
o
o
o
21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5, 0 = 3


6

OBSERVACIONES


Todo número entero positivo es divisible
por si mismo y por la unidad.



La unidad es divisor de todo número
entero .



El cero es múltiplo de todo número entero.
7

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD


Es un conjunto de reglas que , aplicadas a
las cifras de un número , nos permite
anticipar entre qué cantidades es divisible
dicho número. En caso contrario , nospermite calcular el residuo en forma
directa.

8

Número
Criterio
2
* El número acaba en cifra par
3
* La suma de sus cifras es
múltiplo de 3
4
* El número formado por las dos
últimas cifras es múltiplo de 4
5
* La última cifra es 0 ó 5
9
de 9

* La suma de sus cifras es multiplo

9

REPRESENTACION LITERAL DE
UN NUMERO
 Cuando no se conocen las cifras de un
número
éstas
se
representan
mediante lanotación:
N = abcdef

EJEMPLO:
Si el número se escribe como :
N abcdef
o

o

a  b  c  d  e  f 3 ó 9
10

NUMEROS PRIMOS


Llamados también primos absolutos, son
aquellos números que poseen únicamente
dos divisores: a la unidad y el mismo
número.
Ejemplos:
2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…

Todos los números primos son
impares, a excepción del 2.
11

Números Simples: Son aquellosnúmeros
enteros positivos que poseen a lo más dos
divisores, y están formados por la unidad y
los números primos.
Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187,
193,..
 Números Compuestos: Son aquellos
números enteros positivos que poseen
más de dos divisores.
Ejemplos:
4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, …


12

NUMEROS PRIMOS ENTRE SI
(P.E.S.I.)


Se les denomina también primos relativos o
coprimos, yson aquellos números que tienen
como único divisor común a la unidad.



Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque
DIVISORES

6 : 1, 2, 3, 6
14 : 1, 2, 7, 14
21 : 1, 3, 7, 21

,el único divisor común es 1

13

PROPIEDADES
Dos o más números consecutivos son
siempre números P.E.S.I.
 Dos o más números impares consecutivos
son siempre números P.E.S.I.
 Si dos números A y B son P.E.S.I.
entonces:
a)A, B y A + B son P.E.S.I.
b) A, B y A – B son P.E.S.I.


14

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA.


Todo número entero positivo mayor que la
unidad se puede expresar como la multiplicación
indicada de sus divisores primos diferentes ,
elevados cada uno de ellos a exponentes
enteros positivos. Esta representación es única,
salvo el orden de sus factores. A esta
representación se le denomina:Descomposición
Canónica del Número.

15

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)



Dado un conjunto de números enteros positivos,
el MCM de dichos números es un entero
positivo que cumple las siguientes condiciones:
1. Es un múltiplo común de los números.



2. Es el menor de estos múltiplos comunes.



16

Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8
o

4o
6

: 4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48…

8

: 8,...