Divisibilidad En Z

DIVISIBILIDAD EN ( , +, ⋅, ≤)
Fundamentos de la Matemática − 2011

 

INTRODUCCIÓN Pretendemos en esta sección extender a la estructura de los números enteros varios de los conceptos vistos bajo este mismo título en la estructura de los naturales, así como también introducir otros conceptos nuevos. Comenzaremos por definir múltiplo y divisor: Definición Dados dos números enteros a y b,diremos que a es múltiplo de b, y notaremos a = b si, y solo si, existe un número entero q tal que a = b.q. Dados dos números enteros a y b, diremos que b es divisor de a o que b divide a a, y notaremos b a si, y solo si, a es múltiplo de b.
i

 

(1) Prueba que si x a ∧ x b ⇒ x αa + βb , ∀α , β ∈ . (2) (i) Las relaciones “es múltiplo de” y “divide a” definidas en , ¿son

 

relaciones deorden amplio? (ii) En ( , +,·, ≤) vimos que: a b ∧ b a ⇔ a = b. En ( , +,·, ≤), ¿se cumple esta propiedad? (iii) Completa para que la siguiente sea una proposición verdadera y

demuéstrala:
a, b ∈ a b ∧ b a ⇔ ...................

Definición

Consideremos a, b ∈ . Diremos que a y b son asociados ⇔ a b ∧ b a .

(3) ¿Cuáles son los enteros asociados a un número entero a?
  Prof. Gustavo Franco- Prof. Daniel Siberio

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Definición

Consideremos a ∈

(dividendo) y b ∈

(divisor), tales que b ≠ 0 y a = b .

i

Llamaremos cociente de la división exacta de a entre b, al número entero q que verifica que: a = b.q, y notaremos: q = a : b o q = a . b

Parece razonable continuar por definir división entera entre números enteros. Una posibilidadpuede ser tomar textualmente la definición vista para los naturales. Es decir: a r b q

⇔

⎧ a = bq + r ⎪ ⎨ ⎪ r 0 ⎩

⎧ 1) ∃q, r ∈ / a = bq + r ∧ 0 ≤ r < b ⎪ (T) ⎨ ⎪ 2) q y r son únicos ⎩

(5) Completa la siguiente demostración:
 

1) Dem Consideremos el conjunto M = m ∈

{

/ m = a − bx , con x ∈

}.

Intentaremos

probar que M tiene mínimo y que dicho mínimo es r. Como M es unconjunto de naturales, para demostrar que tiene mínimo utilizaremos el Principio de Buena Ordenación:
Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel Siberio

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(i) M ⊆

por …………….

(ii) Para demostrar que M ≠ ∅, distinguiremos dos casos a ≥ 0 ∨ a < 0. Si a ≥ 0, podemos asegurar que …... ∈ M , ya que ……………………….. Si a < 0 ⇒ −a......0. Como b > 0, aplicando el teoremade Arquímedes 1

tenemos que: ∃n ∈

/ nb..... − a ⇒ −nb.....a.
⇒ ............ ∈ M .

Escribiendo x = −n, tenemos que: xb......a ⇒ a − ...... ∈ De

(i)⎫ ⎪ ⎬ ⇒ ∃ mínM . Al mínimo de M lo denominaremos r y probaremos que (ii) ⎪ P.B.O. ⎭
∧ ∃q ∈ / r = ............... ⇒ a = ................

verifica las condiciones expuestas en la tesis.
r = m í n M ⇒ r ∈ ....... ⇒ r ∈

Falta aúndemostrar que 0 ≤ r < b. r ≥ 0, ya que…………… Por lo tanto solo queda probar que r < b, lo cual

haremos por reducción al absurdo. Supongamos que r ≥ b. r ≥ b ⇒ a − bq ≥ ..... ⇒ a ≥ ............ = (...........)b ⇒ a − ......... ∈
(6) ¿Cuál es la contradicción a la que se arriba?

⇒ k = a − (q + 1)b ∈ ......

 

(7) Demuestra la unicidad de q y r.
 

Definición

Sean a, b ∈ q, r ∈

∧ b > 0.Realizar la división entera de a entre b es encontrar
∧ 0 ≤ r < b.

tales que: a = bq + r

                                                            
1

Teorema (de Arquímedes): ∀a, b ∈

+

, ∃n ∈ , n ⋅ a > b

 

Prof. Gustavo Franco

- Prof. Daniel Siberio

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Nota

Puede definirse la división entera para cualquier entero b no nulo(no solamente para los positivos) sustituyendo la segunda condición por: 0 ≤ r < b .

 

MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Antes de comenzar con el tratamiento de los temas de esta sección necesitamos ver, por razones técnicas, algunos conceptos de estructuras algebraicas referidos a los anillos.

Definición

Consideremos (A, +,·) un anillo conmutativo y con elemento unidad,...