division de segmentos


DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden serrazones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremosde una recta. Sea  P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura
Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulosrectángulos formados:

El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,
Si el punto P(X, Y) se encuentra fuera de los extremos A y B en elsentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:
Considerando los triángulos semejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetosde la siguiente manera:

Despejando a X;
Despejando a X;
, ,
factorizando 
por lo tanto:
Análogamente:
despejando Y;
, , , factorizando
, por lo tanto:
Pendiente
La pendiente de unarecta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Siel ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX esobtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Ecuación punto-pendiente
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se...