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Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y
sociales
Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos
más a problemas de economía, administración y ciencias sociales.
Ejemplo 1
Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm3
. Su base debe ser doble
de largo que de ancho. El material de la tapa cuesta$0.10 por centímetro cuadrado y el de los
lados, $0.05 por centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones que hagan el costo mínimo.
• Empezamos con un diagrama para representar la situación:
x
y
2x
V = 2 x
2y
• El área de la base y la tapa juntas es:
Ab = 2 x
2 + 2 x
2 = 4 x
2
• El costo de este material es: 0.4 x
2 pesos, porque cada centímetro cuadrado cuesta 0.1 pesos.
• El área de las 4 caraslaterales de la caja es:
Ac = 2 xy + 4 xy = 6 xy
• Y tienen un costo de: 0.3 xy pesos.
• El volumen total de la caja es de 256 cm3
, así que:
V = 2 x
2
y = 256 ⇒ y =
256
2 x
2
=
128
x
2
• Así que el costo total del material requerido para construir la caja es:
C = Ab + Ac = 0.4 x
2 + 0.3 xy
= 0.4 x
2 + 0.3 x ·

128
x
2

= 0.4 x
2 +
38.4
x
• Ahora podemos calcular el mínimo:
dC
dx = 0.8 x −38.4
x
2
= 0 ⇒ x =
√3
48 ≈ 3.6342

• Entonces, las dimensiones de la caja son: √3
48, 2 √3
48 y
y =
128
x
2
=
128
√3
48 2
≈ 9.6913
• Entoces, la caja con mínimo costo en materiales es:
√3
48
128
√3
48 2
2
√3
48
Ejemplo 2
Un tanque de forma cilindrica circular recta, sin tapa y con base horizontal ha de contener 400
litros. El materia de la base cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados.Calcule las
dimensiones del tanque más económico. Nota: 1 litro equivale a 1 dm3
.
• Empezamos con el diagrama que ilustra la situación:
r
h
V = πr
2h
• Definimos como c el costo por unidad de superficie al material para las paredes del cilindro
y 2 c al del fondo.
• Utilizaremos r y h medido en decímetros, para simplificar los cálculos.
• Así, el volumen del cilindro estará en decímetroscúbicos, es decir, en litros.
• El área de material utilizado en la base es:
Ab = πr
2
.
• El material para la base costará: Cb = 2 c πr
2
.
• El área de material requerido para las paredes del cilindro es:
Ap = 2 πrh
• Y su costo es Cp = 2 cπrh.
• Pero el volumen del cilindro es:
V = πr
2
h = 400 ⇒ h =
400
πr
2
• Entonces, el costo del material requerido para la construcción de ese cilindro es:
C = Cb +Cp = 2 c πr
2 + 2 cπrh
= 2 c πr
2 + 2 cπr ·

400
πr
2

C(r) = 2 c πr
2 +
800 c
r
• Ahora podemos calcular el costo mínimo:
dC
dr = 4 cπr −
800 c
r
2
= 0 ⇒ r =
3
r
200
π
≈ 3.9929
• Y la altura del cilindro debe ser:
h =
400
πr
2
=
400
π
√3
200/π
2
≈ 7.98589
• Verifica que el volumen del cilindro con estas dimensiones es 400 dm3
.
Ejemplo 3
El costo de un inventario x en una cadena de comidasestá dado por:
I(x) = 70 000
x
+ 0.25 · x
¿Cuál debe ser su inventario mensual para minimizar el costo?
• Para conocer el mínimo costo de inventario derivamos, igualamos a cero y resolvemos para
x:
dI
dx = −
70 000
x
2
+ 0.25 = 0 ⇒ x =
√
28 000 ≈ 167.33
• Se sugiere que tenga un inventario de 167 productos.
Definición
1
Función de costo
La función de costo C = f(x) indica el costo total deproducción al producir x artículos.
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rofr. Efraín Soto Apolinar.
Definición
2
Función de ingreso
La función de ingreso I = f(x) indica el ingreso total de vender x artículos.
Definición
3
Función de utilidad
La función de utilidad se define como la diferencia entre las funciones de ingreso y de costo:
U(x) = I(x) − C(x)
Para algunos problemas de economía y administración seutiliz muy frecuentemente la palabra
«marginal».
Esta palabra se refiere a: «para el siguiente producto». Por ejemplo, la utilidad marginal se refiere a
la utilidad que obtendrán si venden un producto más; el costo marginal es el costo de producir
un producto más, etc.
En sí, la palabra marginal se refiere a una razón de cambio promedio medida en un punto dado,
que puede aproximarse a través...