Econometría modelos temporales

MODELS UNIVARIATS DE SÈRIES TEMPORALS.

1. Conceptes preliminars: processos estocàstics, estacionarietat, funcions d’autocorrelació. 2. Processos estocàstics estacionaris, autorregressius (AR), de mitjanes mòbils (MA), mixtos (ARMA) i integrats (ARIMA) 3. La metodologia Box-Jenkins. 4. Models estacionals (SARIMA). 5. Predicció puntual i per interval.
Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011UdG 1

1. CONCEPTES PRELIMINARS: PROCESSOS ESTOCÀSTICS, ESTACIONARIETAT, FUNCIONS D’AUTOCORRELACIÓ. Sèrie temporal: successió ordenada en el temps de valors d’una variable mesurats a intervals regulars. Sèrie temporal corresponent a la taxa de mortalitat de Dinamarca (per 1000 persones/any) entre 1921 i 1987. En aquest cas es tracta de dades anuals.
18

16

Tasa de mortalidad (x1000pers/año)

14

12

10

8 1921 1925

1929 1933

1937 1941

1945 1949

1953 1957

1961 1965

1969 1973

1977 1981

1985

Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011 UdG

2

Visites al servei d’urgències a l’Hospital Juan Canalejo en el període comprès entre Gener de 1988 i Febrer de 1998 (Dades Mensuals).
9000

8000

7000

Hospital Juan Canalejo

6000

50004000
97 19 7 EC 9 D 19 AY 96 M 19 T 6 C 9 O 19 AR 9 5 M 19 G 5 AU 199 N 4 JA 199 N 93 JU 19 V O 93 N 19 R 92 AP 1 9 P 2 SE 1 9 9 B 1 FE 199 L 90 JU 19 0 EC 9 D 19 AY 89 M 19 T 9 C 8 O 19 AR 8 8 M 19 G 8 AU 198 N JA

Date

Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011 UdG

3

Sota l’aproximació estocàstica una sèrie temporal, xt, es defineix com una realització mostral d’un procés estocàstic.Un procés estocàstic, {Xt}, t=1,2,...T; és un conjunt de variables aleatòries, v.a., Xt, ordenades segons un paràmetre temporal t. Un procés estocàstic format per T v.a. tindrà una funció de distribució multivariant de probabilitat, i vindrà descrit a través dels moments que el caracteritzaran: µt, γt,t=var(Xt) i γt,t-k=cov(Xt, Xt-k). Aquests paràmetres són desconeguts i haurem d’estimar-los. Perfer-ho tindrem una sèrie temporal observada en T períodes, és a dir, una mostra de mida T del procés desconegut. Problema: únicament disposem d’una realització mostral del procés estocàstic. Per això és necessari imposar una sèrie de condicions o requisits que permetin realitzar les inferències.

Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011 UdG

4

Condicions o requisits per poder realitzarinferències:
1.- LINEALITAT

Entre tots els processos estocàstics ens interessen els anomenats lineals o gaussians (normals). La distribució normal és la única distribució de probabilitat que permet la caracterització del procés a partir del coneixement de només dos dels seus moments, la mitjana, µt=E(Xt) i la variància, γt,t=Var(Xt). Observem que tot i haver-ho reduït bastant, el problemapersisteix, degut a que el procés podria tenir T mitjanes i variàncies fent impracticable la inferència.
2.- ESTACIONARIETAT

Per aquest motiu es defineix un procés estacionari en sentit ampli, o dèbilment estacionari, i a partir d’ara estacionari, com aquell amb una mitjana i una variància constants en el temps i amb covariàncies γt,t-k=Cov(Xt,Xt-k) que només depenguin del temps considerat (k)però no del temps (t). Aquestes s’anomenen autocovariàncies (γ és la lletra grega gamma).

µt = µ < ∞

γ t,t = γ 0 < ∞

γ t,t −k = γ t,t +k = γk < ∞ ∀t
5

Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011 UdG

3.- ERGODICITAT

La mitjana del procés es pot estimar utilitzant la mitjana de la sèrie temporal

∑x
ˆ µ=
t =1

T

t

T

t = 1,2,...,T

La variància es pot estimar através de la variància de la sèrie:

ˆ γ0 =

∑(x
t =1

T

t

ˆ − µ)

2

T

t = 1,2,...,T

Transparències ARIMA. Econometria 2010/2011 UdG

6

i les autocovariàncies (la d’ordre zero és la variància). Alguns programes usen T−1 en el denominador.
ˆ ˆ ˆ ∑ ( x t − µ )( x t −0 − µ ) ∑ ( x t − µ )
t =1
T

T

T

2

ˆ γ0 =

T

=

t =1

T

ˆ γ1 =

∑(x
t =2
T...