Econometria

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FORMAS CUADRÁTICAS. MATRICES DEFINIDAS POSITIVAS
Dada una matriz simétrica cualquiera, A
[pic]
[pic]

Se dice que una forma cuadrática es definida positiva si se cumple que:
[pic]
Una matriz simétrica es definida positiva si lo es su forma cuadrática.
Se dice que una forma cuadrática es semidefinida positiva si se cumple que
[pic]
PROPIEDADES DE FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS POSITIVAS:• Si A es una matriz definida positiva, su determinante es distinto de cero.
[pic]



[pic]
para que el vector x sea cero se tiene que cumplir que la submatriz [pic]y como consecuencia de que el determinante [pic], esto sólo se produce cuando y = 0,
• Si A es definida positiva, su matriz inversa también lo es.
• La matriz identidad es una matriz definidapositiva.
[pic]
• Si A es una matriz definida positiva, todas sus raíces son positivas.
• Si A es una matriz definida positiva, entonces su determinante es mayor que cero.
[pic], por lo que [pic]
• Teorema de Aitken: este teorema permite estimar el modelo cuando no se den las condiciones del entorno Gauss-Marcov.
Si tengo una matriz que es definida positiva, lapuedo expresar como el producto de dos matrices cuyo determinante sea distinto de cero.
[pic]
[pic]
[pic]




Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada (m = n), y es igual a su traspuesta.




[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]


[pic]
[pic]
[pic]


[pic]
SCE= [pic]-[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
La F experimental debe ser mayor que la R crítica = acepto el modelo, rechazo hipótesis
R2> R Crítica = será bueno

[pic]

t experimental del contraste [pic]
[pic]

Para estimar la varianza de la perturbación aleatoria ponemos los residuos al cuadrado:
SCR= ∑ ℮i2

Para estimar la matriz de covarianzas delmodelo:

[pic] 2 =SCR/(n-k) [pic]= [pic]

[pic] [pic]= [pic] 2 (X´X) -1

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Primer contraste
Utilizando la t de Student


[pic] [pic]

Utilizando la F de Snedecor


[pic]

Elegimos la matriz R = (0, 1, 0 ) y calculamos

[pic]
[pic]
Por lo tanto [pic] y en consecuencia
[pic]

utilizando el estimador del modelo restringidoTendríamos que empezar por estimar el modelo restringido
[pic]

[pic]






las propiedades:
1ª Propiedad

La sumatoria de los residuos es 0

[pic]= 0
2ª Propiedad

La suma de los valores observados es igual a la suma de los valores estimados

[pic]
3ª Propiedad

El hiperplano de la regresión pasa por un punto muy concreto, que es el punto cuyas coordenadas son:




4ªPropiedad

Los momentos de 2º orden entre cada regresor y los residuos son igual a 0. Esto quiere decir que:

[pic][pic]

5ª Propiedad

Los momentos de 2º orden entre los valores estimados para “Y” y los residuos son 0.

[pic]
Demostración:
[pic]

[pic]

[pic]

VECTOR DE MEDIAS:

[pic].


PROPIEDADES


El vector de medias cumple con las siguientespropiedades:

• [pic]
• Del mismo modo podemos demostrar que:


[pic]


• Cambio de variable:

[pic]


Descomposición analítica de la matriz de covarianzas:

[pic]


PROPIEDADES


• La matriz de covarianzas es simétrica:


Es decir, [pic]
• La matriz de covarianzas es una matriz definida positiva.


[pic] Estaexpresión siempre es mayor que 0, por lo que la siguiente expresión también tiene que serlo siempre:
• [pic] Expresión vectorial de la matriz de covarianzas.


[pic]

• CAMBIO DE VARIABLE: Vamos ahora a ver que ocurre cuando realizamos el siguiente cambio de variable:

[pic]


Aplicando dicho cambio de variable, la expresión de la matriz de covarianzas sufre la siguiente...
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