Econometria
Dada una matriz simétrica cualquiera, A
[pic]
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Se dice que una forma cuadrática es definida positiva si se cumple que:
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Una matriz simétrica es definida positiva si lo es su forma cuadrática.
Se dice que una forma cuadrática es semidefinida positiva si se cumple que
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PROPIEDADES DE FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS POSITIVAS:• Si A es una matriz definida positiva, su determinante es distinto de cero.
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•
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para que el vector x sea cero se tiene que cumplir que la submatriz [pic]y como consecuencia de que el determinante [pic], esto sólo se produce cuando y = 0,
• Si A es definida positiva, su matriz inversa también lo es.
• La matriz identidad es una matriz definidapositiva.
[pic]
• Si A es una matriz definida positiva, todas sus raíces son positivas.
• Si A es una matriz definida positiva, entonces su determinante es mayor que cero.
[pic], por lo que [pic]
• Teorema de Aitken: este teorema permite estimar el modelo cuando no se den las condiciones del entorno Gauss-Marcov.
Si tengo una matriz que es definida positiva, lapuedo expresar como el producto de dos matrices cuyo determinante sea distinto de cero.
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Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada (m = n), y es igual a su traspuesta.
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[pic][pic]
[pic][pic]
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SCE= [pic]-[pic][pic]
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La F experimental debe ser mayor que la R crítica = acepto el modelo, rechazo hipótesis
R2> R Crítica = será bueno
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t experimental del contraste [pic]
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Para estimar la varianza de la perturbación aleatoria ponemos los residuos al cuadrado:
SCR= ∑ ℮i2
Para estimar la matriz de covarianzas delmodelo:
[pic] 2 =SCR/(n-k) [pic]= [pic]
[pic] [pic]= [pic] 2 (X´X) -1
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[pic]
[pic]
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Primer contraste
Utilizando la t de Student
[pic] [pic]
Utilizando la F de Snedecor
[pic]
Elegimos la matriz R = (0, 1, 0 ) y calculamos
[pic]
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Por lo tanto [pic] y en consecuencia
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utilizando el estimador del modelo restringidoTendríamos que empezar por estimar el modelo restringido
[pic]
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las propiedades:
1ª Propiedad
La sumatoria de los residuos es 0
[pic]= 0
2ª Propiedad
La suma de los valores observados es igual a la suma de los valores estimados
[pic]
3ª Propiedad
El hiperplano de la regresión pasa por un punto muy concreto, que es el punto cuyas coordenadas son:
4ªPropiedad
Los momentos de 2º orden entre cada regresor y los residuos son igual a 0. Esto quiere decir que:
[pic][pic]
5ª Propiedad
Los momentos de 2º orden entre los valores estimados para “Y” y los residuos son 0.
[pic]
Demostración:
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VECTOR DE MEDIAS:
[pic].
PROPIEDADES
El vector de medias cumple con las siguientespropiedades:
• [pic]
• Del mismo modo podemos demostrar que:
[pic]
• Cambio de variable:
[pic]
Descomposición analítica de la matriz de covarianzas:
[pic]
PROPIEDADES
• La matriz de covarianzas es simétrica:
Es decir, [pic]
• La matriz de covarianzas es una matriz definida positiva.
[pic] Estaexpresión siempre es mayor que 0, por lo que la siguiente expresión también tiene que serlo siempre:
• [pic] Expresión vectorial de la matriz de covarianzas.
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• CAMBIO DE VARIABLE: Vamos ahora a ver que ocurre cuando realizamos el siguiente cambio de variable:
[pic]
Aplicando dicho cambio de variable, la expresión de la matriz de covarianzas sufre la siguiente...
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