Economia

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
ESCUELA DE ADMINISTRACION Y CONTADURIA PÚBLICA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CATEDRA DE MATEMATICA II

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1. CONCEPTO DE MATRIZ.

Una matriz es un conjunto de números reales escritos en filas y columnas.


es una matriz de mfilas y n columnas, o bien de orden m x n. Cada elemento de una matriz A se nota con dos subíndices, (aij); el primero indica la fila, el segundo la columna en que está colocado el elemento.
De forma abreviada, una matriz se nota así: A = (aij)
Una matriz de orden 1 x n se llama matriz fila.
Una matriz de orden m x 1 se llama matriz columna.
Una matriz de orden n x n se llama matriz cuadrada.
Dosmatrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si tienen el mismo orden y aij=bij i, j (son iguales ele-mento a elemento).

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2. CONCEPTO DE DETERMINANTE.

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cadacolumna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un determinante de 2º orden.

Ejemplo: la matriz tiene de determinante
Los determinantes de tercer orden se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus:

En esquema | |
Ejemplo:

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3. MENOR Y ADJUNTO.

Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al determinanteque resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" en las que está el elemento en cuestión.
Se designa Mij o por ij.
Ejemplo, en la matriz A= etc.
Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de subíndices fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designa Aij. Es decir:

Aij = (-1)i+jMij |
Así, en la matriz anterior-------------------------------------------------
4. OPERACIONES CON MATRICES.

Suma y resta
Sólo se pueden matrices del mismo orden. Para ello se los elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir:
A = (aij) B = (bij) A + B = (aij + bij)

Producto
Producto de una matriz por un número
Para multiplicar una matriz A por un número , se multiplican todos los elementos de la matrizpor el número. Es decir:
A = (aij) .A = ( . aij)

Producto de dos matrices
Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:
A mxn .B nxp = C mxp

¿Cómo se multiplican?
El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así obtenidos. Brevemente:

Ejemplo: Multiplicar las matrices

Señalar que el producto de matrices no es conmutativo. Es decir, en general ABBA. Si AB=BA sedice que las matrices A y B conmutan.

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5. RANGO DE UNA MATRIZ.
Sea A Mmxn

Las filas se pueden ver como vectores n, A = (A1, A2, ..., An) / A1, A2, ..., An n.
Las columnas son vectores m.

Rango A = dim {L (A1, A2, ..., Am)} = dim {L (A1, A2, ..., An)}, es decir, nº de líneas (filas o columnas) lineal-mente independientes.DEFINICIÓN ALTERNATIVA: orden del mayor menor no nulo que puede formarse en la matriz A.
CÁLCULO DEL RANGO: a) Def. alternativa (por menores)
b) Método de Gauss ("haciendo ceros"). Aconsejable.

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6. TIPOS DE MATRICES.

Existe una tipología abundante de matrices. Nos vamos a referir aquí sólo a las más usuales.

Matriz traspuesta
La matriz...