Economia

5.4 PRUEBAS CHI-CUADRADO CONTENIDOS: 5.4.1. Prueba de bondad de ajuste. 5.4.2 Prueba de independencia. 5.3.3 Prueba de homogeneidad. OBJETIVOS: Plantear hipótesis para diferentes propósitos. Determinar los pasos a seguir al realizar una prueba chi-cuadrado. Interpretar el nivel de significación de la prueba de hipótesis. Redactar una conclusión con los resultados obtenidos de la prueba dehipótesis realizada. • Realizar pruebas chi-cuadrado en problemas prácticos • • • •

5.4.1

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE.

Parámetro. Estimador. Hipótesis. Frecuencia esperada Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo. Conclusión.
CONCEPTOS CLAVES:

RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES: Sea X ∼ ℑ0 (θ ) , ℑ0 es una distribución teórica conocida que depende de un parámetro θ y setiene una muestra aleatoria de tamaño n de X agrupada en m categorías A1 , A2 ,......, An con frecuencias observadas n1 , n2 ,...., nm Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : Los datos se ajustan a la distribución teórica ℑ0 v/s Hipótesis alternativa H A : Los datos no se ajustan a la distribución teórica P2: Estadístico de prueba: J 0 = ∑i =1 m

( ni − ei )
ei

2

∼ χ 2 (m − k − 1)

Donde ni : Frecuencia observada de la categoría Ai ei = nP( Ai ) : Frecuencia esperada de la categoría Ai k : número de parámetros estimados en la distribución teórica. m : número de categorías en que se agrupan los datos. P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H 0 / H 0 es verdadero) P4: Región de rechazo de H 0 Para H 0 v/ s H A ⇒ R = { x / x > χ 2(1−α ,m − k −1) } P5: Decisión: Si J 0 ∈ R ⇒ se rechaza H 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.

EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO: Ejercicio 1: (Aplicación en Ciencias de la salud) El número de alumnos por semana que sufren algún tipo de accidente en un colegio durante 36 semanas del periodo escolar es lasiguiente: Nº alumnos accidentados (X) 0 1 2 3 4 o más Nº de semanas con X accidentes ( ni ) 6 8 10 6 6 Probar si la muestra de datos se ajusta a una distribución de Poisson con intensidad λ , con un nivel de significación de 5% Esquema de solución Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados. Sea X = Número de alumnosaccidentados. En este caso se debe suponer que X ∼ ℘( λ ) ; es decir, P( X = j ) =
λ j e−λ
j!

y el parámetro involucrado es la intensidad λ , donde λ es el

número promedio de alumnos accidentados por semana en la población. Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se tiene que el estimador de la intensidad es la media muestral, luego de la tabla de frecuencias obtenemos que 0* 6 + 1*8 +2 *10 + 3*6 + 4 *6 70 = = 1.94 36 36 36 Paso 4: Leer la pregunta 1 y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de bondad de ajuste donde las hipótesis deben ser: H 0 : Los datos se ajustan a la distribución de Poisson v/s H A : Los datos no se ajustan a la distribución de Poisson. ˆ λ=X =
i =1

∑xn

5

i i

=Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos. P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : Los datos se ajustan a la distribución de Poisson v/s Hipótesis alternativa H A : Los datos no se ajustan a la distribución de Poisson

P2: Estadístico de prueba:

J0 = ∑
i =1

5

( ni − ei )
ei

2

∼ χ 2 (5 − 1 − 1)
para i = 1, 2,3, 4,5

Donde ei = P( Ai ) *36 y Ai = ( X = i − 1)Luego
P( A1 ) = P( X = 0) =
P( A2 ) = P( X = 1) =

(1.94)0 e−1.94 = 0.1437 ⇒ e1 = 36*0.1437 = 5.1732 0!
(1.94)1 e −1.94 = 0.2788 ⇒ e2 = 36*0.2788 = 10.0368 1!

(1.94) 2 e −1.94 = 0.2704 ⇒ e3 = 36*0.2704 = 9.7344 2! (1.94)3 e −1.94 P( A4 ) = P( X = 3) = = 0.1749 ⇒ e4 = 36*0.1749 = 6.2964 3! P( A5 ) = P ( X ≥ 4) = 1 − P( X < 4) = 0.1322 ⇒ e5 = 36*0.1322 = 4.7592 P( A3 ) = P( X = 2) =...