Ecuación de slutsky

1

Demostración de la ecuación de Slutsky

Suponga que hay dos bienes (x,y), y tenemos el vector de precio de ambos bienes (p(px ,py ) y tenemos una función de utilidad bien comportada de la cual obtenemos las funciones de demandas ordinarias y compensadas en el óptimo, las cantidades demandas son iguales para las dos funciones de demanda. xd (p,m)=hd (p,m) x

1.1

DemostraciónDe…nimos la función de gasto como resultado óptimo de la minimización del gasto. G (p; q; u) En el óptimo G (p; q; u) m = px + qy Siendo las cantidades que soluciónan el primal y el dual de la optimización del consumidor (x ; y ) = hx ; hy Por dualidad sabemos que en el óptimo. h (p; q; u) = x (p; q; G (p; q; u)) Dp (h (p; q; u)) = @G(p;q;u) D3 x (p; q; G (p; q; u)) + D1 x (p; q; G (p; q; u)) @pReordenando tenemos: D1 x (p; q; G (p; q; u)) = Dp (h (p; q; u)) @G(p;q;u) D3 x (p; q; G (p; q; u)) @p Por de…nición tenemos @x Dp (h (p; q; u)) @h @p @p u=constte De la restricción presupuestaria y de la función de gasto. m = px + qy = G(p; q; u) @G(p;q;u) =) dm = xdp () dm = x @p dp
dm dp = x Dado que en el óptimo M=G para el mismo nivel de utilidad y precios y a su vez se cumple que: dx dx D3 x (p;q; G (p; q; u)); por lo tanto. dm dG Sustituyendo. @x dx @x @p = @p dm x u=constte Tenemos la ecuación de slutsky que señala que: Efecto Total = Efecto sustitución o precio - Efecto renta @G(p;q;u) @p

1.2

Signo de las derivadas

Dp x (p; q; G (p; q; u)) = @G(p;q;u) D3 x (p; q; G (p; q; u)) + D1 x (p; q; G (p; q; u)) @p Si el bien es normal; se tiene que: D1 x (p; q; G (p; q; u)) < 0 () @x0 () dm > 0 @G(p;q;u) > 0 () dm = x > 0 @p dp Por tanto u=constte

1

@x @p

=

@x @p

u=constte

dx dm

x 0 u=constte Esto es posible, sí y sólo sí, el bien inferior no tiene sustitutos o estos son pobres sustitutos y el peso del bien inferior en la estructura del gasto es importante. x>
dx dm @x @p

1.4

Ejemplo
p 2 xy q 6= 0 px = 0 ^ q = 0 px 6= 0 ^ q = 0

Max U (x; y)=

8 n o > 1 (m px) if < q sa: px + qy = m, Solution is: C if > : ; if 1 Dx U (x; y) = 2 py xy Dy U (x; y) =
1 py 2 xy 1 px 2 xy

m m

1 px 2 xy

1 = x y = p ,. q

y= y = 1 (m q

xp q px)

, Solution is:

8 nh > x= < > :

Función indirecta de utilidad n o ( q q q 2p2 q p1q v 2 ; 2p2 q p1q v 2 if 3 3 2 1 m 1 m v = 2 p 2 q , Solution is: ; if Función de Gasto por inversa
0:5
12

= 1m 2 q f[y = 0]g ;

1m 2 p ;y

io

if if if

p 6= 0 m=0^p=0 m 6= 0 ^ p = 0 arg (v) : arg (v)
1 2 1 2

_:

^

1 2 1 2

< arg (v) < arg (v)

= 2p2 q p1q v 2 = 2v (pq) !función de gasto g = 2p2 q p1q v 2 3 3 Obtenemos la función de demanda compensada por el teorema de dualidad @G hx @p Por tanto 0:5 Dp 2v (pq) = q pv = hx ; demanda compensada de x pq Dq 2v (pq) = p pv = hy; demanda compensada de y pq Utilizando la función indirecta de utilidad para eleminar v la sustituimos en la función de demanda compensada
0:5

0:5

2

Dp
1 2

q pv pq =
1 m2
2 22 4 p2 2

=
1 2

1 2 v 2 q (pq) 3 2 1 m2
2 22 4 p2 2

=

1 2 2q 1 m 4 p2

q

2 1 m 1 m 2 p 2 q 3 (pq) 2

=

2 1 q 2 (pq) 3 2

q

q

1 m2 4 pq

=

1 2

q2 (pq) 2
3

2 1 m2 4pq

!1 2

=

1 m2 4 p4

=

1 2

=

1 m 4 p2

Hemos obtenido el efecto precio puro
@hx @p

La segunda parte de la decomposición de Slutsky vine dada por el efecto renta dx dm x De la función de demanda ordinaria se tiene x= 1m 2 p Obtenemos el cambio sobre la renta 1 Dm 1 m = 2p 2 p pero como x =
1 x 2p Resumiendo @x @x @p = @p @x @p dx dm 1m 2 p ;tenemos 1m 1 m 2 p = 4 p2 dx dm1 m 2 p2 ;

1 m 4 p2

entonces que

=

u=constte 1 m 1 m 4 p2 4 p2

=

este es el efecto total

1.5

Ejemplo númerico

Asumamos que el precio inicia de x es p=1/4 y el de y es q=1 y la renta inicial es M=2 Asumamos las condiciones …nales de x es p=1, de y es q=1 y la renta M=2 Funciones de Demandas Ordinarias de x e y i h x = 1 m; y = 1 m 2 p 2 q 1.5.1 Condiciones iniciales...