ecuación reducida de la elipse

Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
 
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo:
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse defocos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
 
1 Semieje mayor: 
2 Semidistancia focal: 
3 Semieje menor: 
4 Ecuación reducida: 
5 Excentricidad: 

Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
 

Elementos de la elipse:
1Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2Eje focal: Es la recta que pasa por losfocos.
3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, ces el valor de la semidistancia focal.
7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Relación entre ladistancia focal y los semiejes

 

8Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9Eje menor:Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.Excentricidad
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

 


 

 


 





Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:


Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, unaecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.
Ejemplos:
1 Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).



2 Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.







Ecuación de la elipse de eje vertical
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen decoordenadas F(x0, y+c) y F'(x0, y0−c). Y la ecuación de la elipse será:


Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
 

Elementos de la hipérbola:
1Focos: Son lospuntos fijos F y F'.
2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno delos vértices y de radio c.
6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
 
7Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c.
8Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a.
9Eje menor:Es el segmento  de longitud 2b.
10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
11Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12Relación entre los semiejes: 
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

 

 

Hipérbola equilátera
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