ECUACI N DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector  tiene igual dirección que , luego es igual a  multiplicado por un escalar:




Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

ECUACIÓNPARAMÉTRICAS DE LA RECTA
A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y siigualamos, queda:

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir su ecuación continua.

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
Pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

 
Si el ánguloque forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
 
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Ecuación punto-pendiente
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

Ejemplo:
1 Unarecta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

2Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).


3Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.


ECUACION GENERAL DE LA RECTA
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:


Trasponiendotérminos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ejemplos:
1 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director  igual (-2, 1).


2 Hallar la ecuación dela que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.


ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA EXPLICITA
Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:


El coeficiente de la x es la pendiente, m.
El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY
Ejemplos:
Hallar la ecuación en formaexplícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.


ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Teoría
Ejercicios
 

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

Cuyas componentes son:


Sustituyendo estos valores en la forma continua:

Ejemplos:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)


RECTASPARALELAS A LOS EJES
Rectas paralelas a los ejes de coordenadas
 
1Rectas paralelas al eje OX

Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación: y = b


Ejemplo:
 


2Rectas paralelas al eje OY
 
Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a


Ejemplo:
 


Eje de coordenadas
 
Los puntos quepertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0.
Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O.
ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

1 Sus vectores directores...