Ecuacion de bernoulli

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI

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Práctica nº 1 :

ECUACIÓN DE BERNOULLI

1.1. INTRODUCCIÓN
La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de conservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, es decir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre del teorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo delsiglo XVIII (1700-1782), quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar los cambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro “Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos, que data de 1738. Para la deducción de la ecuación de Bernoulli en su versión más popular se admitirán las siguienteshipótesis (en realidad se puede obtener una ecuación de Bernoulli más general si se relajan las dos primeras hipótesis, es decir, si reconsidera flujo incompresible y no estacionario): • Flujo estacionario (es invariable en el tiempo). decir,

• Flujo incompresible (densidad ρ constante).

Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli

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PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Figura 2. Portada del libro“Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo.

• Fluido no viscoso. • Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas másicas gravitatorias (= peso del fluido). • No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo. Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con una porción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en uncierto instante, con áreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como la superficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vector velocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad es constante, el caudal Q = vA , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de ser el mismo paracualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastante estrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y la presión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2 respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a una sola línea de corriente). Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción defluido se habrá desplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales ' S1' y S2 . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las distancias dx1 = v1dt , y dx2 = v2 dt . Este desplazamiento conlleva un cambio en la energía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio de la Termodinámica, deberá ser igual altrabajo de las fuerzas actuantes sobre ese

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elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias. Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campo gravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial.

S1 v1 p1

S1' S2 v2 p2

' S2

z1

dx1

z2

dx2Figura 2. Elemento de fluido considerado.

Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante el tiempo dt, se puede expresar como:

dE = dEC + dEPG = dWP

(1)

donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencial gravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elemento de fluido. La variación de energíacinética es igual a la ganancia de energía cinética ' habida en la zona de las secciones S 2 − S2 , menos la correspondiente reducción habida en la zona de las secciones S1 − S1' :

dEC = dEC 2 − dEC1 = dm2

2 v2 v2 v2 v2 − dm1 1 = ρ A2 dx2 2 − ρ A1dx1 1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎛v v ⎞ v v = ρ A2 v2 dt 2 − ρ A1v1dt 1 = ρ Qdt ⎜ 2 − 1 ⎟ 2 2 ⎝ 2 2⎠

(2)

De modo análogo, la variación de energía...